Cho a,b,c là các số nguyên dương. Chứng minh răng tồn tại số nguyên k sao cho ba số nguyên a^k+bc, b^k+ca, c^k+ab có ít nhất một ước nguyên tố chung.

Vẽ đồ thị và khảo sát hàm số sau:

y=\(\dfrac{1}{3}x^2+3x^2-7x-2\)

Cho a,b,c Là 3 cạnh tam giác . Chứng minh rằng

\(\dfrac{1}{\sqrt{ab+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{bc+ca}}+\dfrac{1}{\sqrt{ca+ab}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{a^2+bc}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2+ac}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2+ab}}\)

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\)

CM \(\dfrac{\sqrt{a}}{1+a}+\dfrac{\sqrt{b}}{1+b}+\dfrac{\sqrt{c}}{1+c}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(1+a\right).\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4x}{1+4x}=\sqrt{y}\\\dfrac{4y}{1+4y}=\sqrt{z}\\\dfrac{4z}{1+4z}=\sqrt{x}\end{matrix}\right.\)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kình AB và M di động trên nửa đường tròn đó. Trên tia AM lấy N sao cho : MN = MB. Dựng hình vuông BMNT. Tìm quỹ tích :

a. Điểm T

b. Điểm N

c. Tâm J của đường tròn

a, giải \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{x}{y}=3\\x+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{y}=3\end{matrix}\right.\)

b, tìm x hữa tỷ sao cho \(A=x^2+x+6\) là số chính phương

c, cho\(x\ge1,y\ge1\).

CM: \(\dfrac{x^3+y^3-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\ge8\)

\(\dfrac{2\sqrt{a}}{a^3+b^2}+\dfrac{2\sqrt{b}}{b^3+c^2}+\dfrac{2\sqrt{c}}{c^3+a^2}\le\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\)

Phân tích đa thức thành nhân tử: \(f\left(x\right)=2x^5-9x^3+2x^2+x-3\)

Cho \(P\left(x\right)=x^{100}-4x^{99}-20x^{98}-4x^{97}-20x^{96}-...-4x^3-20x^2-4x\). Tính \(P\left(7\right)=...\)