Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}}&{khi\,\,x \ne - 2}\\a&{khi\,\,x = - 2}\end{array}} \right.\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 2 - 2 = - 4\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = - 2\). Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow a = - 4\).
Vậy với \(a = - 4\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Cho hàm số \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}2\sin^2x+1,x< 0\\2^x;x\ge0\end{matrix}\right.\). Giả sử \(F\left(x\right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)\) trên \(R\) và thỏa mãn điều kiện \(F\left(1\right)=\dfrac{2}{ln2}\). Tính \(F\left(-\pi\right)\)
A. \(F\left(-\pi\right)=-2\pi+\dfrac{1}{ln2}\) B. \(F\left(-\pi\right)=-2\pi-\dfrac{1}{ln2}\)
C. \(F\left(-\pi\right)=-\pi-\dfrac{1}{ln2}\) D. \(F\left(-\pi\right)=-2\pi\)
Mình cần bài giải ạ, mình cảm ơn nhiều ♥
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\k&{khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\).
a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
b) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) và so sánh giá trị này với \(f\left( 2 \right)\).
c) Với giá trị nào của \(k\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\)?
a) Với mọi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\), ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = {x_0} + 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mỗi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3\).
\(f\left( 2 \right) = 2 + 1 = 3\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\).
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k \Leftrightarrow 2 = k \Leftrightarrow k = 2\)
Vậy với \(k = 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 2x}}{x}}&{khi\,\,x \ne 0}\\a&{khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( 0 \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 2} \right) = 0 - 2 = - 2\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 0\). Khi đó:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a = - 2\).
Vậy với \(a = - 2\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Cho hàm số y=f(x)=\(\left\{{}\begin{matrix}2x^3-3\left(m+1\right)x^2+6mx-2\left(x< =3\right)\\nx+46\left(x>3\right)\end{matrix}\right.\)
trong đó m,n thuộc R. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y=f(x) có đúng ba điểm cực trị
- Với \(x< 3\Rightarrow f'\left(x\right)=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m=6\left(x-1\right)\left(x-m\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow6\left(x-1\right)\left(x-m\right)=0\left(1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m\end{matrix}\right.\) có tối đa 2 cực trị khi \(x< 3\)
- Với \(x>3\Rightarrow f'\left(x\right)=n\) là hằng số \(\Rightarrow f\left(x\right)\) ko có cực trị khi \(x>3\)
\(\Rightarrow\) Hàm có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi nó đồng thời thỏa mãn:
ĐK1: \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb khi \(x< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m\ne1\end{matrix}\right.\)
ĐK2: \(x=3\) là 1 cực trị của hàm số
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=3\) đồng thời đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow3^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\Leftrightarrow3n+46=25-9m\Rightarrow n=-3m-7\) (2)
Mặt khác do 2 nghiệm của (1) đều nhỏ hơn 3 \(\Rightarrow\) tại lân cận trái của \(x=3\) đạo hàm luôn có dấu dương
\(\Rightarrow\) Để đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\) thì \(f'\left(3^+\right)=n< 0\)
Thế vào (2) \(\Rightarrow-3m-7< 0\Rightarrow m>-\dfrac{7}{3}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{7}{3}< m< 3\Rightarrow\sum m=0\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}}&{khi\,\,x \ne 5}\\a&{khi\,\,x = 5}\end{array}} \right.\).
Tìm \(a\) để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( 5 \right) = a\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left( {x + 5} \right) = 5 + 5 = 10\)
Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 5\). Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) \Leftrightarrow a = 10\).
Vậy với \(a = 10\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
a. Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{aligned} & \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}, \, \, \text{với} \, x\ne 0 \\ &{{x}^{2}}-2x, \, \, \text{với} \, x=0 \\ \end{aligned} \right.$. Xét tính liên tục của hàm số tại $x=0$.
b. Chứng minh phương trình ${{(x+1)}^{3}}(x-2)+2x-1=0$ có nghiệm.
a. Cho hàm số $y = ax+b$ có đồ thị là đường thẳng $d$.
Xác định các giá trị của $a$ và $b$ biết $d$ song song với đường thẳng $y =-\dfrac12x + 2020$ và $d$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-5$.
b. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & 3(x-1) + 2(x-2y) = 10\\ & 4(x-2) - (x-2y) = 2\\ \end{aligned}\right.$
Trả lời:
a. xác định a,b:
vì đồ thị hàm số y=ax+b // đường y=-1/2x+2020
=> a=-1/2
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có tọa độ(-5,0), thay vào ta có:
0= -1/2.-5 +b => b=-5/2
Đường thẳng d là: y=-1/2 x-5/2
Vì đường thẳng ( d ) : y = ax +b song song với đường thẳng
\(y=-\frac{1}{2}x+2020\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=-\frac{1}{2}\\be2020\end{cases}}\)
khi đó phương trình đường thẳng ( d ) có dạng ( d ) :\(y=-\frac{1}{2}x+b,\)với \(be2020\)
Vì ( d ) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -5 nên đường thẳng ( d ) đi qua điểm ( - 5 ; 0 )
thay tọa độ điểm ( - 5 ; 0 )và phương trình đường thẳng ( d ) ta có :
\(0=-\frac{1}{2}\times\left(-5\right)+b\)
\(\Leftrightarrow0=\frac{5}{2}+b\)
\(\Leftrightarrow b=-\frac{5}{2}\)thỏa mãn
Vậy \(a=-\frac{1}{2}\)và \(b=-\frac{5}{2}\)
bình chọn em với
b giải hệ phương trình:
3(x-1)+2(x-2y)=10 (1)
4(x-2)-(x-2y)=2 (2)
Ta có:
(1) <=> 3 (x-2) + 2(x-2y)= 7 (3)
Vậy ta cần giải hệ PT (2) và (3)
Đặt x-2=a và x-2y=b
ta có hệ phương trình:
4a-b=2 (4) <=> 8a-2b=4 (5)
3a+2b=7 (6)
Công 2 PT (5) và (6) vế theo vế, ta có:
11a=11
=> a=1 (7)
=>b=2 (8)
mà a=x-2=1
=> x=3
và b=x-2y=2
=> 3-2y=2
=> 2y=1
=> y=1/2
Đáp số x=3, y=1/2
Thu gọn các hệ điều kiện sau:
a) $\left\{\begin{aligned} &x > -3\\ &x > -\dfrac12\\ \end{aligned}\right.$;
b) $\left\{\begin{aligned} &x < 2\\ &x < \dfrac32\\ \end{aligned}\right.$;
c) $\left\{\begin{aligned} &1 < x \le 2\\ &\left[\begin{aligned} &x \ge 0\\ &x \le \dfrac32\\ \end{aligned}\right. \\ \end{aligned}\right.$.
