Cho 2 số dương a ,b có a+b=1 .Tìm trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\frac{1}{1+3ab+a^2}+\frac{1}{1+3ab+b^2}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b + 3ab = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = \(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}+\frac{3ab}{a+b}\)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+2ab+b^2\ge4ab\\2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^2+2ab+b^2\ge4ab\\2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(a+b\right)^2\ge4ab\left(1\right)\\\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\left(2\right)\end{cases}}\)
Theo đề bài:
\(a+b+3ab=1\)
\(\Leftrightarrow4\left(a+b\right)+12ab=4\)
\(\Leftrightarrow4\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)^2\ge4\left(theo\left(1\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+2\right)\left[3\left(a+b\right)-2\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)-2\ge0\left(a,b>0\Rightarrow a+b+2>0\right)\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge\frac{2}{3}\)
`\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\ge\frac{4}{9}\left(theo\left(2\right)\right)\)
Áp dụng các kết quả trên, ta có:
\(\left(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\right)^2\le2\left(1-a^2+1-b^2\right)\)\(=4-2\left(a^2+b^2\right)\le4-\frac{4}{9}=\frac{32}{9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\le\frac{4\sqrt{2}}{3}\)
Ta có: \(\frac{3ab}{a+b}=\frac{1-\left(a+b\right)}{a+b}=\frac{1}{a+b}-1\le\frac{1}{\frac{2}{3}}-1=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\a+b+3ab=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\3a^2+2a-1=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=\frac{1}{3}\left(a,b>0\right)}\)
Vậy max A là \(\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{3}\)
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn \(a+b\le3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\frac{1}{3ab}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{b+1}}\)
Mấy bạn ơi giúp mình với.
Cho hai số dương a, b thỏa mãn \(a+b\le3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\frac{1}{3ab}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{b+1}}\)
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=ab+bc+ac. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a^2}{a^2+3bc}+\frac{b^2}{b^2+3ac}+\frac{c^2}{c^2+3ab}+\sqrt{a+b+c}\)
Cho a,b,c dương thoả mãn \(a^3+b^3+8ab\le10\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{5}{ab}+3ab\)
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=ab+bc+ac. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{a^2}{a^2+3bc}+\frac{b^2}{b^2+3ac}+\frac{c^2}{c^2+3ab}+\sqrt{a+b+c}\)
Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn a+b=2 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= a3+b3+\(\frac{6}{a^2+b^2}\)+3ab
CHo các số thực dương a,b thỏa mãn a+b+3ab=1. Tìm GTLN của biểu thức \(A=\frac{6ab}{a-b}-a^2-b^2\)
Cho a,b là hai số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\frac{a^2+3ab+b^2}{\sqrt{ab}.\left(a+b\right)}\)
Ta có: \(P=\frac{a^2+3ab+b^2}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+b\right)^2+ab}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)
\(=\frac{3\left(a+b\right)}{4\sqrt{ab}}+\left(\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\right)\ge\frac{3.2\sqrt{ab}}{4\sqrt{ab}}+2=\frac{6}{4}+2=2,5\)Vậy Min P = 2,5 đạt được khi a = b