Question

Cho 2 số dương a ,b có a+b=1 .Tìm trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\frac{1}{1+3ab+a^2}+\frac{1}{1+3ab+b^2}\)

Answer 1

cảm ơn

Answer 2

Áp dụng bđt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có :

\(A=\frac{1}{1+3ab+a^2}+\frac{1}{1+3ab+b^2}\ge\frac{4}{a^2+b^2+6ab+2}\)

Ta có : \(a^2+b^2+6ab+2=\left(a^2+2ab+b^2\right)+4ab+2=\left(a+b\right)^2+4ab+2=4ab+3\)

Áp dụng bđt \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) ta có : \(4ab+3\le4.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+3=\left(a+b\right)^2+3=1+3=4\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{4}{a^2+b^2+6ab+2}\ge\frac{4}{4}=1\) có GTNN là 1

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)