). Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O). Trên tia Ax lấy điểm C cố định sao cho  ; AC AB CB   cắt (O) tại D (D khác B). Qua trung điểm E của AC dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt BC tại F.  1)  Chứng minh bốn điểm A, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn. 2)  Gọi  M  là  một  điểm  bất  kì  trên  cung  lớn  BD   của  (O)  (M  khác  B  và  D).  Chứng  minh: . BMD OFD   3)  Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác AED có độ dài đường kính bằng độ dài đoạn OA. Tính giá trị của   ACAB. 4)  Gọi P là điểm thay đổi  trên đoạn thẳng AC, đường thẳng BP   cắt  (O) tại N. Hỏi khi P di chuyển trên AC thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CPN chạy trên đường nào? 

 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O). Trên tia Ax lấy điểm C cố định sao cho  AC > AB,  CB cắt đường tròn tại D (D khác B). Qua trung điểm E của AC dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt BC tai F.  5)  Chứng minh rằng tứ giác AEFD nội tiếp đường tròn. 6)  Gọi M là một điểm trên cung lớn BD của đường tròn (O) (M khác B và D). Chứng minh rằng . BMD OFD   7)  Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác AED có độ dài đường kính bằng đoạn OA. Tính giá trị của   ACAB. 8)  Gọi P  là điểm di động trên đoạn AC, đường thẳng BP  cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPN luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi P thay đổi trên đoạn thẳng AC. 

Cho nửa đường tròn ( O ) đường kính AB . Trên nửa đường tròn ( O ) lấy điểm C sao cho CA < CB . Trên đoạn OB lấy điểm M sao cho M nằm giữa O và B. Đường thẳng đi qua M

vuông góc với AB cắt tia  AC tại N, cắt BC tại E.

a) Chứng minh tứ giác ACEM nội tiếp trong một đường tròn.

b) Tiếp tuyến của nửa đường tròn ( O )  tại C cắt đường thẳng MN tại F. Chứng minh Δ CEF cân.

c) Gọi H là giao điểm của NB với nửa đường tròn  ( O ) . Chứng minh HF  là tiếp tuyến của nửa đường tròn  ( O ) .

Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M bất kì trên đường tròn. Qua điểm H thuộc đoạn OB vẽ đường thẳng d vuông góc với AB, đường thẳng d cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại D, C . Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt đường thẳng d tại I , tia AC cắt đường tròn tại E, đường thẳng ME cắt OI tại K. Chứng minh :

a, AC vuông góc với BD từ đó suy ra 3 điểm D, E, B thăng hàng. 

b, Tứ giắc MOHE nội tiếp

c, IE là tiếp tuyến cửa đường tròn (O)

d, Đường thawrrng ME đi qua  điểm cố định

Cho đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M bất kì trên đường tròn. Qua điểm H thuộc đoạn OB vẽ đường thẳng d vuông góc với AB, đường thẳng d cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại D, C . Tiếp tuyến tại M của đường tròn cắt đường thẳng d tại I , tia AC cắt đường tròn tại E, đường thẳng ME cắt OI tại K. Chứng minh : 

a, Tứ giắc MOHE nội tiếp

b, IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c, Đường thẳng ME đi qua điểm cố định

Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, điểm I thay đổi trên đoạn OA ( khác A). Đường thẳng qua I vuông góc với AB cắt (O) tại C và D. Trên tia đối của tia BA lấy điểm S cố định. Đoạn CS cắt (O) tại M, gọi E là giao điểm của DM và AB.

a) Chứng minh tam giác SBC và tam giác SMA đồng dạng.

b) Chứng minh độ dài đoạn OE không phụ thuộc vào vị trí của điểm I.