b) Gọi I là tâm của đường tròn đường kính CD.

Tứ giác CABD là hình thang vuông (AC ⊥ AB;BD ⊥ AB) có OI là đường trung bình

⇒ OI // AC ; mà AC ⊥ AB ⇒ OI ⊥ AB tại O

Vậy AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.

* Tam giác MON vuông tại O có đường cao OP nên

OP2 = MP. NP (1)

* Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có

MA= MP và NB = NP (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OP2 = MA. NB hay R2 = MA. NB ( đpcm)

c)Ta có: OA = ON (bằng R)

CA = CN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó OC là đường trung trực của AN. Gọi H là giao điểm của OC và AN. Xét tam giác vuông CAO có AH là đường cao nên:

* Theo a, ∆MON và APB đồng dạng với nhau với tỉ số đồng dạng là:

Mà: MN = MP+NP = MA+NB = R/2 +2R = 5R/2

a)Ta có: DN và DB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D ⇒ DN = DB

CA và CN là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C ⇒ CA = CN

Khi đó: DB + CA = DN + CN = DC

Mặt khác OC và OD lần lượt là hai phân giác của hai góc ∠(AON) và ∠(BON) kề bù nên

∠(COD) = 90 0

Trong tam giác vuông COD có ON là đường cao nên:

DN.CN = ON 2  = R 2

Hay AC.BD = R 2  (không đổi)

a) Ta có OM, ON lần lượt là tia phân giác của AOP, BOP (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau).

Mà AOP kề bù với BOP nên suy ra OM vuông góc với ON.

Vậy ΔMON vuông tại O.

Góc  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên  = 900

Tứ giác AOPM có:

Suy ra, tứ giác AOPM nội tiếp đường tròn.

Xét ∆ MON và ∆ APB có:

=> Hai tam giác MON và APB đồng dạng

Nửa hình tròn APB quay quanh AB tạo ta hình cầu có bán kính R.

nên thể tích khối cầu tạo ra là: 

a: Xét tứ giác OBDM có

góc OBD+góc OMD=180 độ

=>OBDM là tư giác nội tiếp

c: Xét ΔKOB và ΔKFE có

góc KOB=góc KFE

góc OKB=góc FKE

=>ΔKOB đồng dạng với ΔKFE
=>KO/KF=KB/KE

=>KO*KE=KB*KF