\(\left(y-2\right)x^2+1=y^2\Leftrightarrow\left(y-2\right)x^2=\left(y-1\right)\left(y+1\right)\)

- \(y=2\)không thỏa. 

- \(y\ne2\): \(x^2=\frac{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}{y-2}\)

Nếu \(y=1\Rightarrow x=0\).

Nếu \(y\ne1\)suy ra \(\left(y-1,y-2\right)=1\Rightarrow\left(y+1\right)⋮\left(y-2\right)\)

\(\Rightarrow3⋮\left(y-2\right)\Rightarrow y-2\inƯ\left(3\right)=\left\{-3,-1,1,3\right\}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{-1,3,5\right\}\)(do \(y\ne1\))

Ta chỉ có cặp \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0,-1\right)\right\}\)thỏa. 

2x² + 2y² + 3xy - x + y + 1 = 0

2x² + 2y² + 4xy - xy - x + y + 1 = 0

(2x² + 2y² + 4xy) + (-xy - x) + (y + 1) = 0

2(x + y)² - x(y + 1) + (y + 1) = 0

2(x + y)² + (y + 1)(1 - x) = 0

Do (x + y)² \(\ge0\)

\(\Rightarrow\) 2(x + y)² \(\ge0\)

\(\Rightarrow\) 2(x + y)² + (y + 1)(1 - x) = 0 \(\Leftrightarrow\) (y + 1)(1 - x) = 0

\(\Rightarrow y+1=0;1-x=0\)

*) y + 1 = 0

y = -1

*) 1 - x = 0

x = 1

Với x = 1; y = -1, ta có:

B = [1 + (-1)]²⁰¹⁸ + (1 - 2)²⁰¹⁸ + (-1 - 1)²⁰¹⁸

= 1 + 2²⁰¹⁸

`{((a-1)x+y=a),(x+(a-1)y=2):}`

`<=>{(ax-x+y=a),(x+ay-y=2):}`

`<=>{(a(x-1)=x-y<=>a=[x-y]/[x-1]),(x+[x-y]/[x-1]-y=2):}`

`<=>x(x-1)+x-y-y(x-1)=2(x-1)`

`<=>x^2-x+x-y-xy+y=2x-2`

`<=>x^2-xy-2x+2=0`

_________________________________________

`b)x^2-xy-2x+2=0`

`<=>xy=x^2-2x+2`

`<=>y=x-2+2/x`

Thay `y=x-2+2/x` vào `6x^2-17y=7` có:

 `6x^2-17(x-2+2/x)=7`

`<=>6x^3-17x^2+34x-34-7x=0`

`<=>6x^3-12x^2-5x^2+10x+17x-34=0`

`<=>(x-2)(6x^2-5x+17)=0`

   Mà `6x^2-5x+17 > 0`

  `=>x-2=0<=>x=2`

 `=>y=2-2+2/2=1`

Thay `x=2;y=1` vào `(a-1)x+y=a` có: `(a-1).2+1=a<=>a=1`

\(5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0\)

\(\Leftrightarrow4\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)

Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0,\left(x-1\right)^2\ge0,\left(y+1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow4\left(x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\x-1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\left(x+y\right)^{2018}+\left(x-2\right)^{2019}+\left(y+1\right)^{2020}=\left(1-1\right)^{2018}+\left(1-2\right)^{2019}+\left(-1+1\right)^{2020}=-1\)

Theo bđt Cauchy schwarz dạng Engel 

\(P\ge\frac{\left(2x+2y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{1+1}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right]^2}{2}\)

Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(bđt phụ) 

\(\Rightarrow P\ge\frac{\left[2.1+4\right]^2}{2}=\frac{36}{2}=18\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(P=\left(2x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+\dfrac{1}{x}+2y+\dfrac{1}{y}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(2x+2y+\dfrac{4}{x+y}\right)^2=18\)

\(P_{min}=18\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Cho mình hỏi bạn Nguyễn Huy Tú, hãy giải thích cho mình hiểu về bất đẳng thức Cauchy schawarz (Định lý, chứng minh,..). Đây là lần đầu tiên mình được nghe tên về bất đẳng thức này nên mong bạn giải thích dễ hiểu. Chúc bạn ngày một thành công hơn trong con đường học vấn của mình !

Ta có: \(3x^2+3y^2+4xy+2x-2y+2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1+y^2-2y+1+2x^2+4xy+2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\left(x^2+2xy+y^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\left(x+y\right)^2=0\)

Ta có: \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)

\(2\left(x+y\right)^2\ge0\forall x,y\)

Do đó: \(\left(x+1\right)^2+\left(y-1\right)^2+2\left(x+y\right)^2\ge0\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi 

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y-1=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\\-1+1=0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

Thay x=-1 và y=1 vào biểu thức \(M=\left(x+y\right)^{2016}+\left(x+2\right)^{2017}+\left(y-1\right)^{2018}\), ta được: 

\(M=\left(-1+1\right)^{2016}+\left(-1+2\right)^{2017}+\left(1-1\right)^{2018}\)

\(=0^{2016}+1^{2017}+0^{2018}=1\)

Vậy: M=1