a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó:ΔACB vuông tại C

=>\(\widehat{ACB}=90^0\)

Ta có: ΔOAC cân tại O(OA=OC)

mà OH là đường trung tuyến

nên OH\(\perp\)AC và OH là tia phân giác của góc AOC

Ta có: OH\(\perp\)AC(cmt)

AC\(\perp\)CB tại C(Do ΔACB vuông tại C)

Do đó: OH//BC

b:

OH là phân giác của góc AOC

=>\(\widehat{AOH}=\widehat{COH}\)

mà M\(\in\)OH

nên \(\widehat{AOM}=\widehat{COM}\)

Xét ΔOCM và ΔOAM có

OC=OA

\(\widehat{COM}=\widehat{AOM}\)

OM chung

Do đó: ΔOCM=ΔOAM

=>\(\widehat{OCM}=\widehat{OAM}\)

mà \(\widehat{OCM}=90^0\)

nên \(\widehat{OAM}=90^0\)

=>OA\(\perp\)MA tại A

=>MA là tiếp tuyến tại A của (O)

Xét (O'): \(O'A\perp AB\) tại A và O'A là bán kính.

\(\Rightarrow\)AB là tiếp tuyến của (O') tại A.

\(\Rightarrow\widehat{NAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AN.

Mặt khác \(\widehat{AMN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN.

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{NAB}\left(1\right)\)

Xét (O): \(\widehat{AMC}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\right)\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{ABC}\) nên AN//BC.

a: Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên OH*OA=OB^2=R^2

b: Xét ΔABC và ΔADB có

góc ABC=góc ADB

góc BAC chung

Do đó; ΔABCđồng dạng với ΔADB

=>AB/AD=AC/AB

=>AB^2=AD*AC

=>AD*AC=AH*AO

a) Xét tam giác ACB, có CO là trung tuyến. Lại có \(CO=OA=OB=\frac{AB}{2}\), vậy nên tam giác ACB vuông lại C.

b) Xét tam giác vuông ACB, ta có:

\(\sin\widehat{CAB}=\frac{BC}{BA}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{CAB}=30^o\)

Xét tam giác vuông ACB, ta có:

\(cos\widehat{CAB}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=R\sqrt{3}\)

Xét tam giác vuông ABD, ta có:

\(\tan\widehat{DAB}=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BD=\frac{2\sqrt{3}R}{3}\)

c) Ta thấy ngay tam giác BCD vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD là trung điểm cạnh huyền.

Vậy O' là trung điểm BD.

Xét tam giác OCO' và OBO' có:

O'C = O'B (gt)

OC = OB (= R)

OO' chung

\(\Rightarrow\Delta OCO'=\Delta OBO'\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{O'CO}=\widehat{OBO'}=90^o\)

Vậy nên O'C là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lại có AB vuông góc với O'B tại B nên AB là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O').

d) Gọi H là hình chiếu của I trên OB.

\(AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\frac{4R\sqrt{3}}{3}\)

Ta có hai công thức tính diện tích tam giác:

Công thức Hê-rông: \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) với a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, p là nửa chu vi

\(S=pr\) với r bán kính đường tròn nội tiếp.

Vậy nên \(r=\sqrt{\frac{\left(p-AB\right)\left(p-BD\right)\left(p-AD\right)}{p}}\)

\(p=\frac{AD+DB+BA}{2}=\left(1+\sqrt{3}\right)R\)

Vậy thì:

\(r=R\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)

Thấy ngay IH = r.

Xét tam giác HIB có góc H vuông, \(\widehat{IBH}=45^o\)  (Do BI là phân giác góc vuông)

Vậy nên \(IH=HB=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)

\(\Rightarrow OH=R-HB=\frac{R\sqrt{3}}{3}\)

Xét tam giác vuông OIH, ta có: 

\(OI=\sqrt{OH^2+IH^2}=R\sqrt{\frac{5-2\sqrt{3}}{3}}\)

a) Xét tam giác ACB, có CO là trung tuyến. Lại có \(CO=OA=OB=\frac{AB}{2}\), vậy nên tam giác ACB vuông lại C.

b) Xét tam giác vuông ACB, ta có:

\(\sin\widehat{CAB}=\frac{BC}{BA}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{CAB}=30^o\)

Xét tam giác vuông ACB, ta có:

\(cos\widehat{CAB}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=R\sqrt{3}\)

Xét tam giác vuông ABD, ta có:

\(\tan\widehat{DAB}=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BD=\frac{2\sqrt{3}R}{3}\)

c) Ta thấy ngay tam giác BCD vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD là trung điểm cạnh huyền.

Vậy O' là trung điểm BD.

Xét tam giác OCO' và OBO' có:

O'C = O'B (gt)

OC = OB (= R)

OO' chung

\(\Rightarrow\Delta OCO'=\Delta OBO'\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{O'CO}=\widehat{OBO'}=90^o\)

Vậy nên O'C là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lại có AB vuông góc với O'B tại B nên AB là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O').

d) Gọi H là hình chiếu của I trên OB.

\(AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\frac{4R\sqrt{3}}{3}\)

Ta có hai công thức tính diện tích tam giác:

Công thức Hê-rông: \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) với a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, p là nửa chu vi

\(S=pr\) với r bán kính đường tròn nội tiếp.

Vậy nên \(r=\sqrt{\frac{\left(p-AB\right)\left(p-BD\right)\left(p-AD\right)}{p}}\)

\(p=\frac{AD+DB+BA}{2}=\left(1+\sqrt{3}\right)R\)

Vậy thì:

\(r=R\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)

Thấy ngay IH = r.

Xét tam giác HIB có góc H vuông, \(\widehat{IBH}=45^o\)  (Do BI là phân giác góc vuông)

Vậy nên \(IH=HB=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)

\(\Rightarrow OH=R-HB=\frac{R\sqrt{3}}{3}\)

Xét tam giác vuông OIH, ta có: 

\(OI=\sqrt{OH^2+IH^2}=R\sqrt{\frac{5-2\sqrt{3}}{3}}\)

thiếu cái hình:v