CMR : \(\left(x^m+x^n+1\right)\)chia hết cho \(x^2+x+1\) khi và chỉ khi \(\left(mn-2\right)\)chia hết cho 3
o chứng minh rằng \(\left(x^m+x^n+1\right)\)chia hết cho \(x^2+x+1\)
khi và chỉ khi \(\left(mn-2\right)⋮3\)
CMR (x^m+ x^n =1) chia hết cho (x^2 + x + 1) khi và chỉ khi (mn - 2 ) chia hết cho 3
Chứng minh rằng \(\left(x^m+x^n+1\right)\) chia hết cho \(x^2+x+1\) khi và chỉ khi \(mn-2\)chia hết cho 3.
Áp dụng phân tích thành nhân tử: \(x^7+x^2+1\)
Bây giờ mình sẽ trả lời chính câu hỏi của mình để các bạn tham khảo:
Đặt: \(m=3k+r\) với \(0\le r\le2\)và \(n=3t+s\)
\(\Rightarrow x^m+x^n+1=x^{3k+r}+x^{3t+s}+1\)\(=x^{3k}.x^r-x^r+x^{3t}.x^s-x^s+x^r+x^s+1\)
\(=x^r\left(x^{3t}-1\right)+x^s\left(x^{3t}-1\right)+x^r+x^s+1\)
Ta thấy: \(\left(x^{3k-1}\right)\)chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)và \(\left(x^{3t}-1\right)\) chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)
Vậy: \(\left(x^m+x^n+1\right)\)chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^r+x^s+1\right)\)chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)với \(0\le r;s\le2\)
\(\Leftrightarrow r=2;x=1\Rightarrow m=3k+2;n=3t+1\)
\(r=1;s=2\Rightarrow m=3k+1;n=3t+2\)
\(\Leftrightarrow mn-2=\left(3k+2\right)\left(3t+1\right)-2=9kt+3k+6t=3\left(3kt+k+2t\right)\)
\(mn-2=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)-2=9kt+6k+3t=3\left(3kt+2k+t\right)\)
\(\Rightarrow mn-2\)chia hết cho \(3\).
Áp dụng:\(m=7;n=2\Rightarrow mn-2=12\)chia hết cho 3
\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right)\) chia hết cho \(\left(x^2+x+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right):\left(x^2+x+1\right)=x^5+x^4+x^2+x+1\)
Bạn chứng minh hộ mình
\(x^{3t}-1\) chia hết cho \(x^2+x+1\) với
Biết rằng: Đa thức Q(x) chia hết cho đa thức x-a khi và chỉ khi P(a)=0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x+1 và x-3
\(Q\left(x\right)=mx^3+\left(m-2\right)x^2-\left(3n-5\right)x-4n\)
http://lazi.vn/edu/exercise/biet-rang-da-thuc-px-chia-het-cho-da-thuc-x-a-khi-va-chi-khi-pa-0-hay-tim-cac-gia-tri-cua-m-va-n
Biết rằng đa thức P(x) chia hết cho x-a khi và chỉ khi P(a) =0
Hãy tìm các giá trị m;n sao cho đa thức:
\(P\left(x\right)=mx^2+\left(m+1\right)x^2-\left(4n+3\right)x+5n\) đồng thời chia hết cho x-1 và x+2
Theo bài ta có :
\(P\left(x\right)⋮\left(x-1\right)\) \(\Rightarrow P\left(1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m+m+1-4n-3+5n=0\)
\(\Leftrightarrow2m+n=2\) (1)
Lại có \(P\left(x\right)⋮\left(x+2\right)\Rightarrow P\left(-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow4m+4\left(m+1\right)-\left(4n+3\right).\left(-2\right)+5n=0\)
\(\Leftrightarrow8m+13n=-12\) (2)
Giải hệ (1) và (2) suy ra \(m=\frac{19}{9};n=\frac{-20}{9}\)
CMR xn+xm+1 chia hết cho x2+x+1 khi và chỉ khi mn-2 chia hết cho 3
Cho đa thức \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) \(\left(a\ne0\right)\). Tìm a, b, c biết \(f\left(x\right)-2020\)chia hết cho x - 1, \(f\left(x\right)+2021\) chia hết cho x + 1 và \(f\left(x\right)\) nhận giá trị bằng 2 khi x = 0
Mình có nghĩ ra cách này mọi người xem giúp mình với
f(x) = \(ax^2+bx+c\)
Ta có f(0) = 2 => c = 2
Ta đặt Q(x) = \(ax^2+bx+c-2020\)
và G(x) = \(ax^2+bx+c+2021\)
f(x) - 2020 chia cho x - 1 hay Q(x) chia cho x - 1 được số dư
\(R_1\) = Q(1) = \(a.1^2+b.1+c-2020=a+b+c-2020\)
Mà Q(x) chia hết cho x-1 nên \(R_1\) = 0
hay \(a+b+c-2020=0\). Mà c = 2 => a + b = 2018 (1)
G(x) chia cho x + 1 số dư
\(R_2\) = G(-1) = \(a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c+2021=a-b+2+2021\)
Mà G(x) chia hết cho x + 1 nên \(R_2\)=0
hay \(a-b+2+2021=0\) => \(a-b=-2023\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2018\\a-b=-2023\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{5}{2}\\b=\dfrac{4041}{2}\end{matrix}\right.\)
\(f\left(0\right)=2\Rightarrow c=2\)
\(f\left(x\right)-2020\) chia hết \(x-1\Rightarrow f\left(1\right)-2020=0\)
\(\Rightarrow a+b+c-2020=0\Rightarrow a+b-2018=0\)
\(f\left(x\right)+2021\) chia hết \(x+1\Rightarrow f\left(-1\right)+2021=0\)
\(\Rightarrow a-b+c+2021=0\Rightarrow a-b+2023=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2018\\a-b=-2023\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{5}{2}\\b=\dfrac{4041}{2}\end{matrix}\right.\)
Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức \(x-a\) khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho \(x+1\) và \(x-3\):
\(P\left(x\right)=mx^3+\left(m-2\right)x^2-\left(3n-5\right)x-4n\).
P(x) chia hết cho x + 1 ⇔ P(-1) = -m + (m - 2) + (3n - 5) - 4n = 0.
P(x) chia hết cho x - 3 ⇔ P(3) = 27m + 9(m - 2) - 3(3n - 5) - 4n = 0
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình ẩn m và n.
⇔ ⇔
⇔
a, Tìm x, biết \(|\left|2x+1\right|-2|\) = 3
b, Chứng tỏ rằng 2x + 3y chia hết cho 17 khi và chỉ khi 9x + 5y chia hết cho 17.
a) Ta có: \(\left|\left|2x+1\right|-2\right|=3\)
\(\Leftrightarrow\left|2x+1\right|-2=3\)
\(\Leftrightarrow\left|2x+1\right|=5\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+1=5\\2x+1=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=4\\2x=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-3\end{matrix}\right.\)