Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-4\right)\\x_1x_2=-m^2+4\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\dfrac{4}{x_1x_2}=1\)

Thay vào ta được : \(\dfrac{2\left(m-4\right)+4}{-m^2+4}=1\Leftrightarrow\dfrac{2m-4}{\left(2-m\right)\left(m+2\right)}=1\Leftrightarrow\dfrac{-2}{m+2}=1\Rightarrow-2=m+2\Leftrightarrow m=-4\)

\(\Delta=\left(2m-3\right)^2-4\left(2m-4\right)=\left(2m-5\right)^2\ge0;\forall m\)

Pt luôn có 2 nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-3\\x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m-3}{2m-4}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow4m-6=2m-4\)

\(\Leftrightarrow2m=2\)

\(\Leftrightarrow m=1\) (thỏa mãn)

ĐK:`x_1,x_2 ne 0=>x_1.x_2 ne 0`

`=>-2m-1 ne 0=>m ne -1/2`

Ta có:`a=1,b=2m,c=-2m-1`

`=>a+b+c=1+2m-2m-1=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-2m-1\end{array} \right.\) 

PT có 2 nghiệm pn

`=>-2m-1 ne 1`

`=>-2m ne 2`

`=>m ne -1`

Nếu `x_1=1,x_2=-2m-1`

`pt<=>6=1+1/(-2m-1)`

`<=>5=1/(-2m-1)`

`<=>2m+1=-1/5`

`<=>2m=-6/5`

`<=>m=-3/5(tm)`

Nếu `x_2=1,x_1=-2m-1`

`pt<=>6/(-2m-1)=-2m-1+1=-2m`

`<=>6/(2m+1)=2m`

`<=>3/(2m+1)=m`

`<=>2m^2+m-3=0`

`a+b+c=0`

`=>m_1=1(tm),m_2=-c/a=-3/2(tm)`

Vậy `m in {-3/5,1,-3/2}` thì ....

1.

\(a+b+c=0\) nên pt luôn có 2 nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)

\(A=\dfrac{m^2+2-\left(m^2-2m+1\right)}{m^2+2}=1-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=1\)

2.

\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{\left(x_1^2-2\right)\left(x_2^2-2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=4\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2-2m^2+4\left(m-2\right)+4}{m-2-m+1}=4\)

\(\Rightarrow-m^2=-4\Rightarrow m=\pm2\)

a, b bạn tự giải

c. \(\Delta=m^2+4>0;\forall m\Rightarrow\) pt luôn có nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)

Ồ, đề câu d bạn ghi sai, 2 mẫu số phải có 1 cái là \(x_1\)

\(x^2+6x+2m-3=0\)

\(\Delta=6^2-4\cdot1\cdot\left(2m-3\right)\)

\(=36-8m+12=-8m+48\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

=>-8m+48>0

=>-8m>-48

=>m<6

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-6\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-3\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1-1}+\dfrac{1}{x_2-1}=2+x_1+x_2\)

=>\(\dfrac{x_2-1+x_1-1}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=x_1+x_2+2\)

=>\(\dfrac{-6-2}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=-6+2=-4\)

=>\(x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1=\dfrac{-8}{-4}=2\)

=>2m-3-(-6)=2

=>2m-3+6=2

=>2m+3=2

=>2m=-1

=>\(m=-\dfrac{1}{2}\left(nhận\right)\)

a) Với m = 2, phương trình đã cho trở thành:

2x² - 6x + 2.2 - 5 = 0

⇔ 2x² - 6x - 1 = 0

∆' = (-3)² - 2.(-1) = 11 > 0

⇒ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x₁ = [-(-3) + 11]/2 = (3 + 11)/2

x₂ = [-(-3) - 11]/2 = (3 - 11)/2

b) ∆' = (-3)² - 2.(2m - 5)

= 9 - 4m + 10

= 19 - 4m

Để phương trình đã cho có nghiệm thì ∆' ≥ 0

⇔ 19 - 4m ≥ 0

⇔ 4m ≤ 19

⇔ m ≤ 19/4

Theo định lý Viét, ta có:

x₁ + x₂ = 3

x₁x₂ = (2m - 5)/2

Ta có:

1/x₁ + 1/x₂ = 6

⇔ (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = 6

⇔ 3/[(2m - 5)/2] = 6

⇔ (2m - 5)/2 = 1/2

⇔ 2m - 5 = 1

⇔ 2m = 6

⇔ m = 3 (nhận)

Vậy m = 3 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu

pt sai 

Để pt có 2 nghiệm pb khác 0:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4\left(m-1\right)^2-3\left(m^2-4m+1\right)>0\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+4m+1>0\\m^2-4m+1\ne0\end{matrix}\right.\) (1)

Theo hệ thức Viet:  \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1+x_2=0\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}=0\\\dfrac{m^2-4m+1}{3}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\\m=5\end{matrix}\right.\) 

Thế vào hệ điều kiện (1) kiểm tra chỉ có \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=5\end{matrix}\right.\) thỏa mãn

Chắc đề là \(A=\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^2+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2\) mới đúng

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-6\right)=\left(m-2\right)^2+3>0\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-6\end{matrix}\right.\) với \(m\ne3\)

\(A=\left(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2-2=\left(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}\right)^2-2\)

\(A=\left[\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\right]^2-2=\left(\dfrac{4\left(m-1\right)^2}{2m-6}-2\right)^2-2\)

\(A=\left(2m-\dfrac{8}{m-3}\right)^2-2\)

\(A\) nguyên \(\Leftrightarrow\dfrac{8}{m-3}\) nguyên \(\Leftrightarrow m-3=Ư\left(8\right)\)

\(\Leftrightarrow m=...\)