Câu 5: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.Gọi I là trung điểm AH, BỊ cắt đường tròn tại F.
Chứng minh: Ba điểm D, H, F thẳng hàng.
a Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
=>OA vuông góc với BC
=>OH*OA=OB^2=R^2
b: góc ABM=góc ACM
góc HBM=90 độ-góc OMB=90 độ-góc OBM=góc ABM
=>BM là phân giác của góc ABH
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B; C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Kẻ đường kính BK của (O). AK cắt (O) tại ETừ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B;C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Kẻ đường kính BK của (O). AK cắt (O) tại E.a.Chứng minh : tứ giác OBAC nội tiếp và AB^2=AE.AKb.Chứng minh : tứ giác OHEK nội tiếp và CE vuông góc HEc.Tia BK và tia AC cắt nhau tại F.Kẻ CI vu
a) Xét tứ giác OBAC có
\(\widehat{OBA}\) và \(\widehat{OCA}\) là hai góc đối
\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: OBAC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Cho đường tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ các tiếp tuyến AB và AC đến (O) với B, C là tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của BC với OA. Vẽ CD là đường kính của (O), AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là E. a) Chứng minh: ∆CED vuông tại E và OA vuông góc BC tại H b) Chứng minh AE. AD = AH. AO và AHE = ADO c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng mình DHO = EHA và 1/AE + 1/AD = 2/AI
a: Xét (O) có
ΔCED nội tiếp
CD là đườngkính
=>ΔCED vuông tại E
Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
=>OA vuông góc với BC
b: Xét ΔACD vuông tại C có CE là đường cao
nên AE*AD=AC^2
=>AE*AD=AH*AO
=>AE/AO=AH/AD
=>ΔAEH đồng dạng với ΔAOD
=>góc AHE=góc ADO
từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) (B,C là các tiếp điểm). Đường tròn I đường kính AB cắt BC tại H và cắt đường tròn O tại D (D khác B).
b) gọi K là giao điểm của OI với BD. Chứng minh tứ giác AIKH nội tiếp.
c) Đường tròn (I) cắt AC tại E. Gọi F là giao điểm của OA với BE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm K.
b) Ta thấy (O) giao (I) tại 2 điểm B và D => BD vuông góc OI (tại K) => ^OKB=900.
Xét đường tròn (I) đường kính AB có H thuộc cung AB => AH vuông góc HB hay AH vuông góc BC (1)
AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O) => \(\Delta\)ABC cân tại A. Mà AO là phân giác ^BAC
=> AO vuông góc BC (2)
Từ (1) và (2) => A;H;O thẳng hàng => ^OHB=900.
Xét tứ giác BOHK: ^OKB=^OHB=900 => Tứ giác BOHK nội tiếp đường tròn đường kính OB
=> ^OKH = ^OBH. Lại có ^OBH=^OAB (Cùng phụ ^HBA) => ^OKH = ^OAB
Hay ^OKH = ^HAI. Mà ^OKH + ^KHI = 1800 nên ^HAI + ^KHI = 1800
=> Tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Dễ thấy OI là trung trực của BD và OI cắt BD tại K => K là trung điểm của BD
\(\Delta\)ABC cân đỉnh A có đường phân giác AH => H là trung điểm BC
Từ đó suy ra HK là đường trung bình của \(\Delta\)BDC
=> HK//CD => ^HKD + ^CDK = 1800 (3). Đồng thời \(\frac{HK}{CD}=\frac{1}{2}\)
Tương tự KI là đường trg bình của \(\Delta\)BAD => KI//AD => ^DKI + ^ADK = 1800 (4) Và \(\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)
Cộng (3) với (4) => ^KHD + ^KDI + ^CDK + ^ ADK = 3600
<=> ^HKI = 3600 - (^CDK + ^ADK) => ^HKI = ^CDA.
Xét \(\Delta\)HKI và \(\Delta\)CDA: ^HKI=^CDA; \(\frac{HK}{CD}=\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)=> \(\Delta\)HKI ~ \(\Delta\)CDA (c.g.c)
=> ^HIK = ^CAD. Mặt khác: ^CAD = ^DBE (Cùng chắn cung DE) => ^HIK=^DBE.
Mà tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn => ^HIK=^HAK = >^DBE=^HAK hay ^KBF=^FAK
=> Tứ giác BKFA nội tiếp đường tròn => Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm K (đpcm).
Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A ở ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB, AC của đường tròn đó(B,C là các tiếp điểm).Gọi H là giao điểm của OA và BC.Gọi E là hình chiếu của C lên đường kính BD của (O). AD cắt CE tại K Chứng minh K là trung điểm CE
Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm. Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), AD cắt (O) tại E. Gọi H là giao điểm của OA và BC, K là trung điểm của ED. a) Chứng minh: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và OA vuông góc với BC. b) Chứng minh: AE.AD = AC c) Vẽ OK và cắt BC tại F. Chứng minh: FD là tiếp tuyến của đường tròn
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
Xét tứ giác OBAC có
góc OBA+góc OCA=180 độ
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔAEC và ΔACD có
gó ACE=góc ADC
góc EAC chung
Do đo: ΔAEC đồng dạng với ΔACD
=>AE/AC=AC/AD
=>AC^2=AE*AD
Cho đường tròn tâm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm. Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), AD cắt (O) tại E. Gọi H là giao điểm của OA và BC, K là trung điểm của ED.
a) Chứng minh: A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn và OA vuông góc với BC.
b) Chứng minh: AE.AD = AC
c) Vẽ OK và cắt BC tại F. Chứng minh: FD là tiếp tuyến của đường tròn
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
nên AB=AC
mà OB=OC
nên OA là trung trực của BC
Xét tứ giác OBAC có
góc OBA+góc OCA=180 độ
nên OBAC là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔAEC và ΔACD có
gó ACE=góc ADC
góc EAC chung
Do đo: ΔAEC đồng dạng với ΔACD
=>AE/AC=AC/AD
=>AC^2=AE*AD
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) với B và C là hai tiếp điểm. Vẽ đường kính BD của (O); AD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh AE.AD = AC² và AHE = ADO
c) Gọi K là trung điểm của ED. Đường thẳng OK cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh FD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng nằm trên 1 đường tròn
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBED vuông tại E
=>BE\(\perp\)ED tại E
=>BE\(\perp\)AD tại E
Xét ΔABD vuông tại B có BE là đường cao
nên \(AE\cdot AD=AB^2\)(3)
=>\(AE\cdot AD=AC^2\)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)
=>\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)
Xét ΔAEH và ΔAOD có
\(\dfrac{AE}{AO}=\dfrac{AH}{AD}\)
góc EAH chung
Do đó: ΔAEH đồng dạng với ΔAOD
=>\(\widehat{AHE}=\widehat{ADO}\)
c: Ta có: ΔOED cân tại O
mà OK là đường trung tuyến
nên OK\(\perp\)ED tại K
Xét ΔBOA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)
Xét ΔOKA vuông tại K và ΔOHF vuông tại H có
\(\widehat{KOA}\) chung
Do đó: ΔOKA đồng dạng với ΔOHF
=>\(\dfrac{OK}{OH}=\dfrac{OA}{OF}\)
=>\(OK\cdot OF=OA\cdot OH\)
=>\(OK\cdot OF=R^2=OD^2\)
=>\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OF}\)
Xét ΔOKD và ΔODF có
\(\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OF}\)
góc KOD chung
Do đó: ΔOKD đồng dạng với ΔODF
=>\(\widehat{OKD}=\widehat{ODF}\)
=>\(\widehat{ODF}=90^0\)
=>FD là tiếp tuyến của (O)
Cho đường tròn (O ; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp tuyến). Gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh: OA vuông góc BC và OH.OA=R² b) Kẻ đường kính BD của (O), AD cắt (O) tại E. Chứng minh: AH.AO= AE.AD c) Chứng minh: HC là phân giác của góc DHE
a: Xét (O) có
AB,AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại trung điểm của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(1\right)\)
b: Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBED vuông tại E
=>BE\(\perp\)ED tại E
=>BE\(\perp\)AD tại E
Xét ΔDBA vuông tại B có BE làđường cao
nên \(AE\cdot AD=AB^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AH\cdot AO=AE\cdot AD\)