Câu 1:

1:

a: \(\dfrac{1}{2}x-3=0\)

=>\(\dfrac{1}{2}x=3\)

=>\(x=3:\dfrac{1}{2}=3\cdot2=6\)

b: \(3x^2-12x=0\)

=>\(3x\cdot x-3x\cdot4=0\)

=>\(3x\left(x-4\right)=0\)

=>x(x-4)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\end{matrix}\right.\)

2: 

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=-x+\dfrac{3}{2}\)

=>\(x^2=-2x+3\)

=>\(x^2+2x-3=0\)

=>(x+3)(x-1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-3\\x=1\end{matrix}\right.\)

Khi x=-3 thì \(y=\dfrac{1}{2}\cdot\left(-3\right)^2=\dfrac{1}{2}\cdot9=4,5\)

Khi x=1 thì \(y=\dfrac{1}{2}\cdot1^2=\dfrac{1}{2}\)

b: Gọi (d1): y=ax+b(a<>0) là phương trình đường thẳng cần tìm

Thay x=2 và y=2 vào (d), ta được:

\(a\cdot2+b=2\)

=>2a+b=2

=>b=2-2a

=>y=ax+2-2a

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=ax+2-2a\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-ax-2+2a=0\)

\(\text{Δ}=\left(-a\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(2a-2\right)\)

\(=a^2-2\left(2a-2\right)=a^2-4a+4=\left(a-2\right)^2\)

Để (P) tiếp xúc với (d1) thì Δ=0

=>a-2=0

=>a=2

=>b=2-2a=2-4=-2

Vậy: Phương trình đường thẳng cần tìm là y=2x-2

1: 

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-x^2=mx+2\)(1)

=>\(x^2+mx+2=0\)

\(\text{Δ}=m^2-4\cdot1\cdot2=m^2-8\)

Để (P) cắt (d) tại 1 điểm duy nhất thì phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất

=>Δ=0

=>\(m^2-8=0\)

=>\(m^2=8\)

=>\(m=\pm2\sqrt{2}\)

b: Thay x=-2 và y=m vào (P), ta được:

\(m=-\left(-2\right)^2=-4\)

Thay x=1 và y=n vào (d), ta được:

\(m\cdot1+2=n\)

=>-4+2=n

=>n=-2

2:

Gọi chiều dài hình chữ nhật đã cho là x(m)

(Điều kiện: x>2)

Chiều rộng hình chữ nhật đã cho là 0,5x(m)

Chiều dài hình chữ nhật khi giảm đi 2m là x-2(m)

Chiều rộng hình chữ nhật khi giảm đi 2m là 0,5x-2(m)

Diện tích ban đầu là \(0,5x\cdot x=0,5x^2\left(m^2\right)\)

Diện tích lúc sau là: \(\left(x-2\right)\cdot\left(0,5x-2\right)=0,5x^2-3x+4\left(m^2\right)\)

Diện tích lúc sau giảm đi một nửa nên ta có:

\(0,5x^2-3x+4=0,5\cdot0,5x^2=0,25x^2\)

=>\(0,25x^2-3x+4=0\)

=>\(x^2-12x+16=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=6+2\sqrt{5}\left(nhận\right)\\x=6-2\sqrt{5}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

vậy: Chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là \(6+2\sqrt{5}\left(m\right)\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{3}< >-\dfrac{1}{m}\)

=>\(m^2\ne-3\)(luôn đúng)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}mx-y=2\\3x+my=3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\3x+m\left(mx-2\right)=3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\3x+m^2x-2m=3m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=mx-2\\x\left(m^2+3\right)=5m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5m}{m^2+3}\\y=m\cdot\dfrac{5m}{m^2+3}-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5m}{m^2+3}\\y=\dfrac{5m^2-2m^2-6}{m^2+3}=\dfrac{3m^2-6}{m^2+3}\end{matrix}\right.\)

\(\left(x+y\right)\cdot\left(m^2+3\right)+8=0\)

=>\(\dfrac{5m+3m^2-6}{m^2+3}\cdot\left(m^2+3\right)+8=0\)

=>\(3m^2+5m-6+8=0\)

=>\(3m^2+5m+2=0\)

=>(m+1)(3m+2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=-\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

Thay x=-1 vào (P), ta được:

\(y=\left(-1\right)^2=1\)

Thay x=2 vào (P), ta được:

\(y=2^2=4\)

vậy: A(-1;1); B(2;4)

Gọi (d): y=ax+b(a\(\ne\)0) là phương trình đường thẳng AB

Thay x=-1 và y=1 vào (d), ta được:

\(a\cdot\left(-1\right)+b=1\)

=>-a+b=1(1)

Thay x=2 và y=4 vào (d), ta được:

\(2\cdot a+b=4\)

=>2a+b=4(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}-a+b=1\\2a+b=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-3a=-3\\-a+b=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=a+1=1+1=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: phương trình AB là y=x+2

1: (x-1)^2+(y+2)^2=25

=>R=5; I(1;-2)

2: Δ'//Δ nên Δ': 3x-4y+c=0

d(I;Δ')=5

=>\(\dfrac{ \left|3\cdot1+\left(-2\right)\cdot\left(-4\right)+c\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=5\)

=>|c+11|=25

=>c=14 hoặc c=-36

=>3x-4y+14=0 hoặc 3x-4y-36=0

3x-4y+14=0 

=>VTPT là (3;-4) và (Δ') đi qua A(2;5)

=>VTCP là (4;3)

=>PTTS là x=2+4t và y=5+3t

3x-4y-36=0

=>VTPT là (3;-4) và (Δ') đi qua B(0;-9)

=>VTCP là (4;3)

PTTS là x=0+4t và y=-9+3t

1: \(F\left(x\right)=x^2-2\left(m+2\right)x+6m+1\)

Đặt F(x)=0

=>\(x^2-2\left(m+2\right)x+6m+1=0\)

=>\(x^2-\left(2m+4\right)x+6m+1=0\)

\(\Delta=\left(2m+4\right)^2-4\left(6m+1\right)\)

\(=4m^2+16m+16-24m-4\)

\(=4m^2-8m+12=4\left(m^2-2m+3\right)\)

\(=4\left(m^2-2m+1+2\right)\)

\(=4\left[\left(m-1\right)^2+2\right]>0\forall m\)

=>Phương trình F(x)=0 luôn có nghiệm với mọi m

2: \(f\left(x\right)=x^2-2\left(m+2\right)x+6m+1\)

\(=\left(y+2\right)^2-2\left(m+2\right)\left(y+2\right)+6m+1\)

\(=y^2+4y+4-2y\left(m+2\right)-4\left(m+2\right)+6m+1\)

\(=y^2+y\left(4-2m-4\right)+4-4m-8+6m+1\)

\(=y^2+\left(-2m\right)\cdot y+2m-3\)

Để phương trình f(x)=0 có hai nghiệm lớn hơn 2 thì phương trình f(y)=0 có hai nghiệm lớn hơn 0

Đặt f(y)=0

=>\(y^2+\left(-2m\right)\cdot y+2m-3=0\)

\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(2m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+12=4m^2-8m+4+8=\left(2m-2\right)^2+8>0\forall m\)

=>Phương trình f(y)=0 luôn có hai nghiệm phân biệt

Để phương trình f(y)=0 có hai nghiệm dương phân biệt thì

\(\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2>0\\y_1\cdot y_2>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-\left(-2m\right)}{1}>0\\\dfrac{2m-3}{1}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m>0\\2m-3>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2m>0\\2m>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2m>3\)

=>m>3/2

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x-2+2}{x-2}+\dfrac{1}{y+1}=3\\\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{y+1}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{y+1}=2\\\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{y+1}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{x-2}+\dfrac{3}{y+1}=6\\\dfrac{4}{x-2}-\dfrac{3}{y+1}=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{10}{x-2}=7\\\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{1}{y+1}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=\dfrac{10}{7}\\\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{24}{7}\\y=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

Vì \(\sqrt{3\sqrt{2\sqrt{x}}}\) là số nguyên => \(3\sqrt{2\sqrt{x}}\) là số chính phương.

Mà 3 là số nguyên tố nên \(\sqrt{2\sqrt{x}}\)có dạng \(3k^2\) với k ∈ N*

\(\sqrt{2\sqrt{x}}=3k^2\Leftrightarrow2\sqrt{x}=9k^4\Leftrightarrow4x=81k^8\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{81}{4}k^8\)

Vì x là số có 4 chữ số => \(x\le9999\) => \(\dfrac{81}{4}k^8\le9999\Leftrightarrow k^8\le\dfrac{4444}{9}\Leftrightarrow k^8\le493\) (1)

Vì \(k\ge1\) => \(k^8\ge1\) (2)

Từ (1) và (2), ta có \(k^8\in\left\{1,256\right\}\)

-Xét \(k^8=1\Rightarrow k=1\Rightarrow x=\)\(\dfrac{81}{4}\) => Vô lí

-Xét \(k^8=256\Rightarrow k=2\Rightarrow x=5184\) t/m

Vậy x = 5184