a) Theo hệ quả của định lý Thales ta có:

\(\dfrac{DN}{AB}=\dfrac{AF}{FD};\dfrac{CM}{AB}=\dfrac{CE}{EB}\Rightarrow\dfrac{DN}{AB}.\dfrac{CM}{AB}=\dfrac{AF}{FD}.\dfrac{CE}{EB}=1\Rightarrow DN.CM=a^2\).

b) Do \(CM.DN=a^2=AD.BC\Rightarrow\dfrac{CM}{BC}=\dfrac{AD}{DN}\).

Mà \(\widehat{MCB}=\widehat{ADN}=90^o\Rightarrow\Delta NDA\sim\Delta BCM\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AND}=\widehat{MBC}\Rightarrow\widehat{AND}+\widehat{MCB}=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=90^o\Rightarrow\widehat{MKN}=90^o\).

c) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(DN+CM\ge2\sqrt{DN.CM}=2a\).

Do đó \(MN=DN+DC+CM\ge2a+a=3a\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi DN = CM \(\Leftrightarrow DN=CM=a\)

\(\Leftrightarrow\) E, F lần lượt là trung điểm của BC, DA.

F thuộc AB mà AB song song CD thì tại sao BF lại cắt CD được ?????

Cho hình vuông ABCD cạnh a, E thuộc BC, F thuộc AD sao Cho CE=AF. Các đường thẳng AE, BF cắt CD tại M và N

a, CMR: CM·DN=a2

b, K là giao của NA và MB. CMR: ^MKN=90

c, Các điểm E và F có vị trí ntn thì MN có độ dài ngắn nhất

sửa đề nha anh :

cho hình vuông ABCD cạnh a,điểm E thuộc cạnh BC điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE=AF. các đường thẳng AE,BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M,N
Chứng minh rằng CM.DN=a^2
b, Gọi K là giao điểm NA và MB. Chứng minh rằng góc MKN=90o
c, Các điểm E,F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất.

hình vẽ nha nhưng e k bt  giải ;v

Bạn chịu khó gõ link này lên google nhé!

https://diendantoanhoc.net/topic/60320-cac-bai-toan-v%E1%BB%81-c%E1%BB%B1c-tr%E1%BB%8B-hinh-h%E1%BB%8Dc-8/

Bạn tham khảo lời giải tại đây:

Câu hỏi của Uchiha Itachi - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

giúp mình với nha 

Câu 3:

Xét ΔMDC có AB//CD

nên MA/MD=MB/MC(1)

Xét ΔMDK có AI//DK

nên AI/DK=MA/MD(2)

Xét ΔMKC có IB//KC

nên IB/KC=MB/MC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AI/DK=IB/KC=MI/MK

Vì AI//KC nên AI/KC=NI/NK=NA/NC

Vì IB//DK nên IB/DK=NI/NK

=>AI/KC=IB/DK

mà AI/DK=IB/KC

nên \(\dfrac{AI}{KC}\cdot\dfrac{AI}{DK}=\dfrac{IB}{DK}\cdot\dfrac{IB}{DC}\)

=>AI=IB

=>I là trung điểm của AB

AI/DK=BI/KC

mà AI=BI

nên DK=KC

hay K là trung điểm của CD

Hình vẽ:

Lời giải:

a) $AF=CE, AD=BC\Rightarrow DF=BE$

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\parallel CD$

$\Rightarrow AB\parallel DN, CM$. Áp dụng định lý Talet:

\(\frac{AB}{DN}=\frac{AF}{DF}=\frac{CE}{BE}\)

$\frac{AB}{CM}=\frac{BE}{CE}$

Nhân theo vế 2 đẳng thức trên suy ra:

$\frac{AB^2}{DN.CM}=1\Rightarrow DN.CM=AB^2$ không đổi.

b) Do $ABCD$ là hình vuông nên:

$DN.CM=AB^2=AD.BC$

$\Rightarrow \frac{DN}{AD}=\frac{BC}{CM}$

$\Rightarrow \triangle DAN\sim \triangle CMB$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{AND}=\widehat{MBC}=90^0-\widehat{BMC}$

hay $\widehat{KNM}=90^0-\widehat{KMN}$

$\Rightarrow \triangle KMN$ vuông tại $K$

$\Rightarrow \widehat{MKN}=90^0$

c)

$MN=DN+CM+DC=DN+CM+AB\geq 2\sqrt{DN.CM}+AB$ theo BĐT AM-GM$

hay $MN\geq 2\sqrt{AB^2}+AB=3AB$

Vậy $MN_{\min}=3AB$. Giá trị này đạt được khi $DN=CM$

$\Leftrightarrow \frac{DN}{AB}=\frac{CM}{AB}$

$\Leftrightarrow \frac{DF}{FA}=\frac{EC}{BE}$

$\Leftrightarrow \frac{BE}{EC}=\frac{EC}{BE}$

$\Leftrightarrow BE=EC$ hay $E$ là trung điểm của $BC$. Điều này kéo theo $F$ là trung điểm của $AD$.