Cho (O; R) và điểm S nằm ngoài (O). Vẽ 2 tiếp tuyến SA, SB với (O). Trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Gọi M, D, E lần lượt là hình chiếu của C trên AB, SA, SB. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AC và DM và BC và EM. CMR:

a) 4 điểm E, C, M, B cùng thuộc đường tròn

b) CM\(^2\)=CE. CD

c) IK // AB

c) Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ AB để \(AC^2+BC^2\) đạt GTNN

Tính giá trị biểu thức B = \(\frac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}}\)

Cho phương trình \(x^2\) - \(mx\) + \(m\) - 1 = 0. Gọi \(x_1\), \(x_2\)là 2 nghiệm của phương trình. Tìm GTNN và GLNN của biểu thức :

C = \(\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}\)

Cho đường tròn (O ; R) và A nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 3R. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N) và AMN không đi qua O. Gọi I là trung điểm MN.

a) CM : 5 điểm A, B, O, I, C cung thuộc đường tròn

b) Tính theo R độ dài các đoạn thẳng AM, AN trong trường hợp MN = R\(\sqrt{3}\)

c) BC cắt AO và OI tại H và K. CM : OH.OA = OI.OK = \(R^2\)

d) CM : KM, KN lần lượt là tiếp tuyến của (O)

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến đường tròn (O).

a) CM : AB\(^2\) = AD.AE

b) Gọi H là giao điểm của OA và BC. CM : tứ giác DEOH nội tiếp

c) CM : HB là phân giác của góc EHD

d) Qua D vẽ đường thẳng song song EB cắt BC tại F và cắt AB tại Q. CM : D là trung điểm PQ

Giải phương trình:

\(x^4-2x+\dfrac{1}{2}\)

Cho (p) : y = \(x^2\) và điểm A(3;0). Điểm M có hoành độ a thuộc (p)

a) Tính AM theo a. Xác định a để AM có độ dài ngắn nhất

b) CMR: khi AM ngắn nhất thì đường thẳng AM vuông góc tiếp tuyến của (p) tại M

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trug điểm của CH, J là trung điểm của DH.

a) Chứng minh: góc CIJ = góc CBH

b)Chứng minh: tam giác CJH đồng dạng với tam giác HIB

c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC\(^2\)

d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất

cho nửa đường tròn tâm o đường kính ab. gọi c là 1 điểm nằm trên nửa dường tròn (o) ( c khác a và b). gọi h là hình chiếu vuông góc của c trên ab, d là điểm đối xứng của a qua c, i là trung điểm ch, j là trung điểm của dh

a) CM góc CIJ = CBH

b) CM tam giác CJH đồng dạng tam giác HIB

c) gọi e là giao điểm của HD và bi. Cm he.hd=hc^2

d) xác định vị trí của c trên nửa đường tròn ở để ah+ch đạt GTLN

\(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}\) + \(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\dfrac{x+3}{2}\)