Bài 2: 

b) Gọi \(d\inƯC\left(21n+4;14n+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}21n+4⋮d\\14n+3⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}42n+8⋮d\\42n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\inƯ\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;-1\right\}\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(21n+4;14n+3\right)=1\)

hay \(\dfrac{21n+4}{14n+3}\) là phân số tối giản(đpcm)

Bài 1: 

a) Ta có: \(A=1+2-3-4+5+6-7-8+...-299-300+301+302\)

\(=\left(1+2-3-4\right)+\left(5+6-7-8\right)+...+\left(297+298-299-300\right)+301+302\)

\(=\left(-4\right)+\left(-4\right)+...+\left(-4\right)+603\)

\(=75\cdot\left(-4\right)+603\)

\(=603-300=303\)

Bài 1: 

c) Ta có: \(B=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^{99}}\)

\(\Leftrightarrow3B=1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{3^{98}}\)

\(\Leftrightarrow3B-B=1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{3^{98}}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3^2}-...-\dfrac{1}{3^{98}}-\dfrac{1}{3^{99}}\)

\(\Leftrightarrow2B=1-\dfrac{1}{3^{99}}\)

\(\Leftrightarrow B=\dfrac{3^{99}-1}{3^{99}\cdot2}\)

Bài 2: 

a) Vì tổng của hai số là 601 nên trong đó sẽ có 1 số chẵn, 1 số lẻ

mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2

nên số lẻ còn lại là 599(thỏa ĐK)

Vậy: Hai số nguyên tố cần tìm là 2 và 599

b,Gọi ƯCLN(21n+4,14n+3)=d

21n+4⋮d ⇒42n+8⋮d

14n+3⋮d ⇒42n+9⋮d

(42n+9)-(42n+8)⋮d

1⋮d ⇒ƯCLN(21n+4,14n+3)=1

Vậy phân số 21n+4/14n+3 là phân số tối giản

c,xy-2x+5y-12=0

xy-2x+5y-12+2=0+2

xy-2x+5y-10=2

xy-2x+5y-5.2=-2

x.(y-2)+5.(y-2)=2

(y-2).(x+5)=2

Sau đó bạn tự lập bảng 

Số số hạng của F:

(218 - 3) : 5 + 1 = 44 (số)

⇒ F = (128 + 3) . 44 : 2 = 4862

⇒ F - 1 = 4862 - 1 = 4861

⇒ F - 1 không chia hết cho 2

A=\(\frac{\left(49+1\right).49}{2}=1225\)

B/3=4100/3=1336,6666666666666....

Từ trên ta suy ra A<B/3

a) \(7.8.9.10⋮2,⋮5\)

    \(2.3.4.5.6⋮2,⋮5\)

    31 ko chia hết 2, ko chia hết 5

=> 7.8.9.10 + 2.3.4.5.6 + 31 ko chia hết 2, không chia hết 5

b) 1.3.5.7.9 \(⋮\)5, ko chia hết 2

  4100 \(⋮\)5 , \(⋮\)2

=> 1.3.5.7.9 + 4100 \(⋮\)5, ko chia hết 2

a, \(S=\frac{3}{6}+\frac{3}{10}+...+\frac{3}{4950}\)

\(\frac{1}{6}S=\frac{1}{6}\left(\frac{3}{6}+\frac{3}{10}+...+\frac{3}{4950}\right)\)

\(\frac{1}{6}S=\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{9900}\)

\(\frac{1}{6}S=\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(\frac{1}{6}S=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\frac{1}{6}S=\frac{1}{3}-\frac{1}{100}\)

\(\frac{1}{6}S=\frac{97}{300}\)

\(\Rightarrow S=\frac{97}{300}\div\frac{1}{6}=\frac{97}{300}.6=\frac{97}{50}\)

Vậy S = \(\frac{97}{50}\)

b, Đặt A = 3+3²+3³+3⁴+ ... +3⁹⁶

Số số hạng của A là : (96 - 1) : 1 + 1 = 96 (số hạng) 

Nếu nhóm 6 số hạng vào 1 nhóm thì số nhóm là : 

96   :    6     =   16 (nhóm) 

Ta có : 

A = (3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶) + (3⁷ + 3⁸ + 3⁹ + 3¹⁰ + 3¹¹ + 3¹²) + ... + ( 3⁹¹ + 3⁹² + 3⁹³ + 3⁹⁴ + 3⁹⁵ + 3⁹⁶) 

=> A = 3.(1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵) + 3⁷(1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵) + ... + 3⁹¹(1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵)

=> A = 3. 364 + 3⁷.364 + ... + 3⁹¹.364 

=> A = 364. (3 + 3⁷ + .... + 3⁹¹) \(⋮\)7 (vì 364 \(⋮\)7)

Vậy A \(⋮\)7 

A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2¹⁷ + 2¹⁸ + 2¹⁹ + 2²⁰)

= 30 + 2⁴.(2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2¹⁶.(2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= 30 + 2⁴.30 + ... + 2¹⁶.30

= 30.(1 + 2⁴ + ... + 2¹⁶)

= 5.6.(1 + 2⁴ + ... 2¹⁶) ⋮ 5

Vậy A ⋮ 5

bài 2 :338350

\(A=2^{21}-2^{18}=2^{18}\left(2^3-1\right)=7\cdot2^{18}=14\cdot2^{17}⋮14\\ B=3^{100}-2^{100}+3^{98}-2^{98}\\ B=3^{98}\left(3^2+1\right)-2^{97}\left(2^3+2\right)\\ B=3^{98}\cdot10-2^{97}\cdot10=10\left(3^{98}-2^{97}\right)⋮10\\ C=1+3+3^2+...+3^{99}\\ C=\left(1+3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6+3^7\right)+...+\left(3^{96}+3^{97}+3^{98}+3^{99}\right)\\ C=\left(1+3+3^2+3^3\right)+3^4\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{96}\left(1+3+3^2+3^3\right)\\ C=\left(1+3+3^2+3^3\right)\left(1+3^4+...+3^{96}\right)\\ C=40\left(1+3^4+...+3^{36}\right)⋮40\)