a: \(y=\left(x^2-1\right)^2\)

=>\(y'=2\left(x^2-1\right)'\left(x^2-1\right)\)

\(=4x\left(x^2-1\right)\)

Đặt y'>0

=>\(x\left(x^2-1\right)>0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x^2-1>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x^2>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>\(x>1\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x^2-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\-1< x< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-1< x< 0\)

Đặt y'<0

=>\(x\left(x^2-1\right)< 0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x^2-1< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\x^2< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>0\\-1< x< 1\end{matrix}\right.\)

=>0<x<1

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x^2-1>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\x^2>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x< 0\\\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

=>x<-1

Vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(1;+\infty\right);\left(-1;0\right)\)

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và \(\left(-\infty;-1\right)\)

b: \(y=\left(3x+4\right)^3\)

=>\(y'=3\left(3x+4\right)'\left(3x+4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow y'=9\left(3x+4\right)^2>=0\forall x\)

=>Hàm số luôn đồng biến trên R

c: \(y=\left(x+3\right)^2\left(x-1\right)\)

=>\(y=\left(x^2+6x+9\right)\left(x-1\right)\)

=>\(y'=\left(x^2+6x+9\right)'\left(x-1\right)+\left(x^2+6x+9\right)\left(x-1\right)'\)

=>\(y'=\left(2x+6\right)\left(x-1\right)+x^2+6x+9\)

=>\(y'=2x^2-2x+6x-6+x^2+6x+9\)

=>\(y'=3x^2-2x+3\)

\(\Leftrightarrow y'=3\left(x^2-\dfrac{2}{3}x+1\right)\)

=>\(y'=3\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{8}{9}\right)\)

=>\(y'=3\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{8}{3}>=\dfrac{8}{3}>0\forall x\)

=>Hàm số luôn đồng biến trên R

d: \(y=\left(2x+2\right)\left(x^3-1\right)\)

=>\(y'=\left(2x+2\right)'\left(x^3-1\right)+\left(2x+2\right)\left(x^3-1\right)'\)

\(=2\left(x^3-1\right)+3x^2\left(2x+2\right)\)

\(=2x^3-2+6x^3+6x^2\)

\(=8x^3+6x^2-2\)

Đặt y'>0

=>\(8x^3+6x^2-2>0\)

=>\(x>0,46\)

Đặt y'<0

=>\(8x^3+6x^2-2< 0\)

=>\(x< 0,46\)

Vậy: Hàm số đồng biến trên khoảng tầm \(\left(0,46;+\infty\right)\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng tầm \(\left(-\infty;0,46\right)\)

Cau 1:

a: ĐKXĐ: x-2<>0

=>x<>2

b: ĐKXĐ: 1-x>=0

=>x<=1

c: ĐKXĐ: \(x\in R\)

d: ĐKXĐ: 4-3x>=0 và x<>0

=>x<=3/4 và x<>0

Lời giải:
a.

\(\left\{\begin{matrix} x\neq 0\\ 2x-1\geq 0\\ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 0\\ x\geq \frac{1}{2}\\ x\neq 1; x\neq 2\end{matrix}\right.\)

$\Leftrightarrow x\geq \frac{1}{2}; x\neq 1; x\neq 2$
b. \(\left\{\begin{matrix} x^2-1=(x-1)(x+1)\neq 0\\ 7-2x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \pm 1\\ x\leq \frac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

c.

\(\left\{\begin{matrix} x\neq 0\\ 4-2x+x^2\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq 0\\ (x-1)^2+3\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\neq 0\)

d.

\(\left\{\begin{matrix} 25-x^2=(5-x)(5+x)\geq 0\\ x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -5\leq x\leq 5\\ x\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 0\leq x\leq 5\)

a) \(y=\dfrac{1}{x}-\dfrac{\sqrt[]{2x-1}}{x^2-3x+2}\)

Điều kiện \(\) \(2x-1\ge0;x\ne0;x^2-3x+2\ne0\)

\(\Leftrightarrow x\ge\dfrac{1}{2};x\ne0;\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ne0\)

\(\Leftrightarrow x\ge\dfrac{1}{2};x\ne0;x\ne1;x\ne2\)

a) \(x\ge\dfrac{1}{2};x\ne1;x\ne2\)

b) \(x\le\dfrac{7}{2};x\ne\pm1\)

c) \(x\ne0\)

d) \(0\le x\le5\)

a: ĐKXĐ: x^2-2x<>0 và x^2-1>0

=>(x>1 và x<>2) hoặc x<-1

b: ĐKXĐ: x+1>0 và 5-3x>0

=>x>-1 và 3x<5

=>-1<x<5/3

c: DKXĐ: 5x+3>=0 và 3-x>0

=>x>=-3/5 và x<3

=>-3/5<=x<3

d: ĐKXĐ: 4-x^2>0 và 1+x>=0

=>x^2<4 và x>=-1

=>-2<x<2 và x>=-1

=>-1<=x<2

e: ĐKXĐ: 2-3x<>0 và 1-6x>0

=>x<>2/3 và x<1/6

=>x<1/6