a) \(S=25x^2-20x+7=\left[\left(5x\right)^2-2.5x.2+4\right]+3=\left(5x-2\right)^2+3>0\) với mọi x

b) \(P=9x^2-6xy+2y^2+1=\left[\left(3x\right)^2-2.3x.y+y^2\right]+y^2+1=\left(3x-y\right)^2+y^2+1>0\)với mọi x

25x²  - 20x + 7 = ( 25x² - 20x + 4 ) + 3 = (5x-2)² + 3 > 0

còn câu b, P = 9x² - 6xy + 2y² + 1 = (3x-y)² + y² + 1 >0

\(A=2x^2+4y^2+4xy-6z+10\)

\(=\left(x^2+4y^2+4xy\right)+\left(x^2-6x+9\right)+1\)

   \(=\left(x+2y\right)^2+\left(x-3\right)^2+1\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x+2y\right)^2\ge0\\\left(x-3\right)^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A\ge0+0+1=1>0\)

Vậy ...

F=x²-x+1/4+y²+4y+4+3/4

=(x-1/2)²+(y+2)²+3/4>=3/4>0 với mọi x

=>dpcm

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1\right)\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)}{x^2y^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left[\left(x-\frac{1}{2}y\right)^2+\frac{3}{4}y^2\right]\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}\ge0\) ( đúng )

Vậy đẳng thức đã được chứng minh .

Dấu \("="\) xảy ra khi \(x=y\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG: Dùng AM-GM cũng được mà

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x^2}{y^2}+1\ge2.\frac{x}{y}\\\frac{y^2}{x^2}+1\ge2.\frac{y}{x}\\\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\end{matrix}\right.\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+1+\frac{y^2}{x^2}+1+2\ge2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\)

Có: \(2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\left(2-3\right)+2\ge2.\left(-1\right)+2=0\)\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

x^2-x+1

=x^2-x+1/4+3/4

=(x-1/2)^2+3/4

Vì (x-1/2) lớn hơn bằng 0 với mọi x nên (x-1/2)^2+3/4>0

+) ta có: \(f\left(0\right)=a.0^3+b.0^2+c.0+d=d\)

        \(f\left(1\right)=a.1^3+b.1^2+c.1+d=a+b+c+d\)

       \(f\left(2\right)=a.2^3+b.2^2+c.2+d=8a+4b+2c+d\)

Nếu f(x) có g/trị nguyên vs mọi x \(\Rightarrow\) d ; a+b+c+d ; 8a+4b+2c+d nguyên

Do d nguyên \(\Rightarrow\) a+b+c nguyên

                             (a+b+c+d)+(a+b+c+d)+2b nguyên\(\Rightarrow\)2b nguyên\(\Rightarrow\)6b nguyên 

+) ta lại có: \(f\left(0\right)=a.0^3+b.0^2+c.0+d=d\)

mà f(0) nguyên nên d nguyên

   \(f\left(1\right)=a.1^3+b.1^2+c.1+d=a+b+c+d\)

 \(f\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^3+b.\left(-1\right)^2+c.\left(-1\right)+d=-a+b-c+d\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)+f\left(-1\right)=2b+2d\)

\(\Rightarrow2b=f\left(1\right)+f\left(-1\right)-2d\)\(\Rightarrow\)\(2b\)nguyên

mặt khác: f(2)= 8a+4b+2c+d 

     \(\Rightarrow\) f(2) - 2f(1) = 6a-2b+d

     \(\Rightarrow\) 6a = f(2) - 2f(1)+2b-d

     \(\Rightarrow\) 6a nguyên

vậy f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d có giá trị nguyeenvs mọi x nguyên khi và chỉ khi 6a ; 2b ; a+b+c và d là các số nguyên

Bài này có 2 vế nha bn, mk c/m hết r đó, nếu bn thấy dài wa thì thu gọn lại nha! chúc bn hc tốt!

nhìn thì dài nhưng ko dài lắm đâu, tại mk dùng cỡ chữ to vài chỗ nên nó dài thôi. bài lm ko dài bn cứ lm đi, đừng ngại!

vdjvi

x²+x+1=x²+2.x.\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)=(x+\(\frac{1}{2}\))²\(+\frac{3}{4}\)lớn hơn 0 vớimọi x

a) x² + x + 1

= (x² + x) + 1

=x(x+1) +1

=(x + 1)(x+1)

=(x+1)² >0

a) Ta có:

\(x^2+2xy+y^2+1\)

\(=\left(x+y\right)^2+1\)

Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0\) với mọi x và y

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+1\ge1\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+1>0\) với mọi x

b) Ta có:

\(x^2-x+1\)

\(=x^2-2x.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+1\)

\(=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\)

Vì \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\) với mọi x

x^2 - 14 x + 50 

= x^2 - 14x + 49 + 1 

= ( x-7)^2 + 1

nhận xét 

(x-7)^2 .=0 

=> (x-7)^2 + 1 >0

vậy A lớn hơn 0 với mọi x

thank you pn na

x^2-14x+50=x^2-2.7x+49+1=(x-7)^2+1

vì (x-7)^2 lớn hơn hoặc =0=>(x-7)^2+1>0