Câu 4: (0.5 điểm) ) Cho hình chóp S.ABC , gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SC. Biết G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng SG và mặt phẳng (BMN)
Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của SG, gọi giao điểm của mặt phẳng (P) qua M với các cạnh SA, SB, SC tại A', B', C' Tính \(\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SC}{SC'}\)
Bài này ứng dụng bài toán đồng phẳng đã chứng minh cho em hồi sáng:
4 điểm M, A', B', C', D' đồng phẳng nên với điểm S bất kì ta có:
\(\overrightarrow{SM}=m.\overrightarrow{SA'}+n.\overrightarrow{SB'}+p.\overrightarrow{SC'}\)
Khi đó \(m+n+p=1\)
Giải như sau:
Đặt \(\dfrac{SA}{SA'}=x;\dfrac{SB}{SB'}=y;\dfrac{SC}{SC'}=z\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}=x.\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB}=y.\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC}=z.\overrightarrow{SC'}\)
Do G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}\)
\(\Rightarrow x.\overrightarrow{SA'}+y.\overrightarrow{SB'}+z.\overrightarrow{SC'}=3\overrightarrow{SG}=6\overrightarrow{SM}\) (do M là trung điểm SG)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{6}.\overrightarrow{SA'}+\dfrac{y}{6}.\overrightarrow{SB'}+\dfrac{z}{6}.\overrightarrow{SC'}=\overrightarrow{SM}\)
Do M;A'B'C' đồng phẳng
\(\Rightarrow\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1\) \(\Rightarrow x+y+z=6\)
\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SC}{SC'}=6\)
Với bài toán trắc nghiệm (hoặc cần kiểm chứng kết quả) chỉ cần chọn trường hợp đặc biệt là (P) song song đáy, khi đó theo Talet thì A', B', C' lần lượt là trung điểm các cạnh nên ta dễ dàng tính ra tổng cần tính là 2+2+2=6
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=CA=CB=AB=a, S C = a 3 2 , G là trọng tâm của tam giác ABC. là mặt phẳng đi qua G, song song với các đường thẳng AB và SB. Gọi M, N, P lần lượt là giao điểm của với các đường thẳng BC, AC, SC. Góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) bằng
A. 90 0 C
B. 45 0 C
C. 30 0 C
D. 60 0 C
Chọn đáp án D
Ta có
Khi đó
Gọi I là trung điểm của AB.
Ta có SA=SB=AB=CA=CB=a nên tam giác SAB và tam giác ABC đều cạnh a.
Khi đó A B ⊥ S I , A B ⊥ C I và S I = C I = a 3 a
Mặt khác S I = C I = S C = a 3 2 nên ∆ S I C đều
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) bằng 60 0
Cho hình chóp tam giác S.ABC, điểm G là trọng tâm của tam giác SBC. Gọi K là trung điểm của SA. hãy xác định giao điểm của đường thẳng KG và mặt phẳng (ABC)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và CD. Hãy tìm :
1) Giao tuyến của hai mặt phẳng ( BMN ) và ( SAD )
2) Giao điểm của đường thẳng SC và (BMN)
a.
Nối BN kéo dài cắt AD tại E
\(\left\{{}\begin{matrix}E\in\left(BMN\right)\\E\in\left(SAD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow E=\left(BMN\right)\cap\left(SAD\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}M\in SA\in\left(SAD\right)\\M\in\left(BMN\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M=\left(BMN\right)\cap\left(SAD\right)\)
\(\Rightarrow EM=\left(BMN\right)\cap\left(SAD\right)\)
b.
Gọi F là giao điểm EM và SD
Trong mp (SCD), nối FN kéo dài cắt SC kéo dài tại G
\(\Rightarrow G=SC\cap\left(BMN\right)\)
cho hình chóp s.abcd có đáy là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạng SA,SC, và G là trọng tâm của △ABC
a) tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
b) tìm giao điểm BC và mặt phẳng (GMN)
c) xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (GMN)
a/
Ta có
\(S\in\left(SAC\right);S\in\left(SBD\right)\)
Trong mp (ABCD) gọi O là giao của AC và BD
\(O\in AC\Rightarrow O\in\left(SAC\right);O\in BD\Rightarrow O\in\left(SBD\right)\)
\(\Rightarrow SO\in\left(SAC\right)\) và \(SO\in\left(SBD\right)\) => SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)
b/
Trong mp (ABCD) Từ G dựng đường thẳng // AC cắt BC tại K
Xét tg SAC có
SM=AM (gt); SN=CN (gt) => MN là đường trung bình của tg SAC
=> MN//AC
Mà GM//AC
=> MN//GK mà \(G\in\left(GMN\right)\Rightarrow GK\in\left(GMN\right)\) (Từ 1 điểm trong mặt phẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và // với 1 đường thẳng cho trươc thuộc mặt phẳng)
\(\Rightarrow K\in\left(GMN\right);K\in BC\) => K llaf giao của BC với (GMN)
c/
Ta có
\(KN\in\left(GMN\right);KN\in\left(SBC\right)\) => KN là giao tuyến của (GMN) với (SBC)
Trong (ABCD) KG cắt AB tại H
\(KG\in\left(GMN\right)\Rightarrow KH\in\left(GMN\right)\)
\(KG\in\left(ABCD\right)\Rightarrow KH\in\left(ABCD\right)\)
=> KH là giao tuyến của (GMN) với (ABCD)
Ta có
\(HM\in\left(SAB\right);HM\in\left(GMN\right)\) => HM là giao tuyến của (GMN) với (SAB)
Trong mp(SAC) gọi P là giao của SO với MN
\(P\in MN\Rightarrow P\in\left(GMN\right)\)
Trong mp(SBD) Nối G với P cắt SD tại Q
\(\Rightarrow GP\in\left(GMN\right)\Rightarrow Q\in GMN\)
\(\Rightarrow MQ\in\left(GMN\right)\) mà \(MQ\in\left(SAD\right)\) => MQ là giao tuyến của (GMN) với (SAD)
Ta có
\(NQ\in\left(GMN\right);NQ\in\left(SCD\right)\) => NQ là giao tuyến của (GMN) với (SCD)
=> thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (GMN) là đa giác HMQNK
Cho hình chóp s.abcd đáy là hbh. Gọi H K lần lượt là trung điểm SA SC. G là trọng tâm tam giác ABC a)GHK và ABCD b) Tìm giao điểm M của SD và GHK c) Gọi E là trung điểm của HK.C/m G E M thẳng hàng
a, đề là gì vậy bạn
b, Xét (ABCD) kẻ AI giao CD tại I
Xét (SCD); (KAG) có
K là điểm chung t1 ; I là điểm chung t2
=> KI là giao tuyến 2 mp
=> Nối IK cắt SD tại M
c, Ta có M = (SAIM) giao (GHK)
E = (HKAI) giao (GHK)
G = (HKAI) giao (SAIM)
mà ME ko song song vs MG
=> M;E;G thẳng hàng
cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi O là giao điểm của AC và BD .M và N lần lượt là trung điểm của CD và SA . G là trọng tâm tam giác SAB .Gọi \(\Delta\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAD) và (SMG),P là giao điểm của đường thẳng OG và \(\Delta\) .Chứng minh P,N ,D thẳng hàng
Cho hình chóp S.ABC có mỗi mặt bên là một tam giác vuông và S A = S B = S C = a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua P. I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI.
A. a 3 12 .
B. a 3 36 .
C. a 3 6 .
D. 2 a 3 12 .
Phương pháp:
Sử dụng tỉ số diện tích, tỉ số thể tích để tính thể tích khối tứ diện MBSI thông qua thể tích khối tứ diện vuông SABC.
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác APD ta có:
Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC sao cho \(MA = 2MS,NS = 2NC\)
a) Xác định giao điểm của MN với mặt phẳng (ABC)
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BMN) với mặt phẳng (ABC)
Tham khảo:
a) Tam giác SAC có: MN cắt AC tại E mà AC thuộc mp (ABC)
Do đó: E là giao điểm của MN và (ABC)
b) Ta có: B thuộc hai mặt phẳng (BMN) và (ABC)
E thuộc hai mặt phẳng (BMN) và (ABC)
Suy ra: BE là giao tuyến của hai mặt phẳng (BMN) và (ABC)