Ta đặt: a/b = a/d =k

  => a = b.k, c=d.k

 Ta có: a² + a.c/c² - a.c=b² + b.d/d² - b.d

 Vế trái:  => (b.k)² + (b.k)(d.k)/(d.k)² - (b.k)(d.k)

  => b².k² + k(b.d)/d².k² - k.(b.d)

 Ta lược bỏ các chữ giống nhau, ta được:

  => b²/d²

 Vế phải: b² +b.d/d² - b.d

 Ta cũng lược bỏ những chữa giống nhau ta được:

  => b²/d² 

Vậy a2 +a.c/c2 + a.c = b2 + b.d/d2 - b.d

Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a.c}{b.d}\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2-c^2}{b^2-d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a.c}{b.d}=\frac{a^2-c^2}{b^2-d^2}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\left(đpcm\right)\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{c^2}{d^2}=\dfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)  (1)

Lại có vì : \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{ac}{bd}\)  (2)

Từ (1) và (2) => ĐPCM

Ta có:

b² = a.c \(\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{a}{b}\)

c² = b.d \(\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{b}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a^3}{b^3}=\frac{b^3}{c^3}=\frac{c^3}{d^3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{b^3+c^3+d^3}=\frac{a}{d}\left(đpcm\right)\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(b^2.k^2\right)+\left(d^2.k^2\right)}{b^2+d^2}\)

\(=\frac{k^2.\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\)(1)

và \(\frac{ab}{cd}=\frac{bk.dk}{b.d}=k^2\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{ac}{bd}\)(đpcm)