Ta có\(15-2n⋮n+1\)

\(\Rightarrow17-2\left(n+1\right)⋮n+1\)

\(\Rightarrow17⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\inƯ\left(17\right)=\left\{1;17\right\}\)

\(\Rightarrow n=\left\{0;16\right\}\)

Ta có \(6n+9⋮4n-1\)

\(\Rightarrow4\left(6n+9\right)⋮4n-1\)

\(\Rightarrow24n+36⋮4n-1\)

\(\Rightarrow6\left(4n-1\right)+42⋮4n-1\)

\(\Rightarrow42⋮4n-1\)

\(\Rightarrow4n-1\inƯ\left(42\right)=\left\{1;2;3;6;7;14;21;42\right\}\)

mà \(n\in N\Rightarrow n=\left\{1;2\right\}\)

Mệnh đề đúng với \(n=1\) vì \(4^1+6.1-1=9\).

- Giả sử \(\left(4^k+6k-1\right)⋮9\). Ta chứng minh:

\(\left[4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\right]⋮9\)

Ta có:

\(4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\)

\(=4.4^k+6k+6-1\)

\(=\left(4^k+6k-1\right)+3.4^k+6\)

\(=\left(4^k+6k-1\right)+3\left(4^k+2\right)\)

Đặt \(A=4^k+6k-1\) và \(B=3\left(4^k+2\right)\)

Theo giả thiết quy nạp thì \(A⋮9\)

Do \(4:3=1\) (dư 1) \(\Rightarrow4^k:3\) dư \(1\Rightarrow\left(4^k+2\right)⋮3\Rightarrow B⋮9\)

Lại có \(\left[4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\right]⋮9\)

Vậy mệnh đề đúng với mọi \(n\in N;n\ge1\)

Hồng Phúc Nguyễn Phạm Ngân Hà

a, Ta có : \(4n^2.\left(n+2\right)+4n.\left(n+2\right)\)

\(=\left(n+2\right).\left(4n^2+4n\right)\)

\(=4n.\left(n+2\right).\left(n+1\right)\)

\(=4n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮4\)

\(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)\) là tích của ba số liên tiếp

\(\Rightarrow n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮2\) và \(3\)

mà \(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)⋮\left(2.3\right)\)

Vậy \(4n^2.\left(n+2\right)+4n.\left(n+2\right)⋮24\left(đpcm\right)\)

b,

+ Thực hiện phép tính :

Ta có : \(\dfrac{6n^2+n-1}{3n+2}=2n-1+\dfrac{1}{3n+2}\)

Để \(\left(6n+n-1\right)⋮\left(3n+2\right)\) thì \(\dfrac{1}{3n+2}\in Z\)

\(\Rightarrow3n+2\inƯ\left(1\right)\)

\(\Rightarrow3n+2\in\left\{\pm1\right\}\)

Ta có bảng sau :

Vậy n = -1

a) \(\dfrac{\left(-\dfrac{5}{7}\right)^n}{\left(-\dfrac{5}{7}\right)^{n-1}}\)

\(=\dfrac{\left(-\dfrac{5}{7}\right)^n}{\left(-\dfrac{5}{7}\right)^n:\left(-\dfrac{5}{7}\right)}\)

\(=\dfrac{\left(-\dfrac{5}{7}\right)^n}{\left(-\dfrac{5}{7}\right)^n.\left(-\dfrac{7}{5}\right)}\)

\(=\dfrac{1}{\left(-\dfrac{7}{5}\right)}\)

\(=1.\left(-\dfrac{5}{7}\right)\)

\(=-\dfrac{5}{7}\)

b) \(\dfrac{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{2n}}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}\)

\(=\dfrac{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n.\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n}\)

\(=\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\)

a)4n²-3n-1 chia hết cho 4n-1

<=>4n²-n-2n-1 chia hết cho 4n-1

<=>n(4n-1)-(2n+1) chia hết cho 4n-1

<=>2n+1 chia hết cho 4n-1

<=>2(2n+1) chia hết cho 4n-1

<=>4n-1+3 chia hết cho 4n-1

<=>3 chia hết cho 4n-1

=>4n-1 thuộc Ư(3)

=>Ư(3)={-1;1;-3;3}

Ta có bảng sau:

Vậy n thuộc {0;1}

b)4n²-3n-1 chia hết cho n-1

<=>4n²-4n+n-1 chia hết cho n-1

<=>4n(n-1)+n-1 chia hết cho n-1

<=>(4n+1)(n-1) chia hết cho n-1

<=>n thuộc N với mọi gtrị

P/s: "chia hết cho" thì viết kí hiệu vô

Is that T :))