Mệnh đề đúng với \(n=1\) vì \(4^1+6.1-1=9\).
- Giả sử \(\left(4^k+6k-1\right)⋮9\). Ta chứng minh:
\(\left[4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\right]⋮9\)
Ta có:
\(4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\)
\(=4.4^k+6k+6-1\)
\(=\left(4^k+6k-1\right)+3.4^k+6\)
\(=\left(4^k+6k-1\right)+3\left(4^k+2\right)\)
Đặt \(A=4^k+6k-1\) và \(B=3\left(4^k+2\right)\)
Theo giả thiết quy nạp thì \(A⋮9\)
Do \(4:3=1\) (dư 1) \(\Rightarrow4^k:3\) dư \(1\Rightarrow\left(4^k+2\right)⋮3\Rightarrow B⋮9\)
Lại có \(\left[4^{k+1}+6\left(k+1\right)-1\right]⋮9\)
Vậy mệnh đề đúng với mọi \(n\in N;n\ge1\)