\(\dfrac{4}{3}=a+2\sqrt{\dfrac{a}{4}.b}+\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}.2b.8c}\)

\(\dfrac{4}{3}\le a+\dfrac{a}{4}+b+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{a}{2}+2b+8c\right)=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{16}{21};\dfrac{4}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(T=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2}{2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\)

\(\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{2}\) (theo BĐT AM-GM)

Vậy $T_{\min}=\frac{3}{2}$.

Giá trị này đạt tại $a=b=c=1$

Ta có \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a.1.1}=3a\Leftrightarrow a^3\ge3a-2\) (Cosi)

Tương tự \(b^3\ge3b-2;c^3\ge3c-2\)

Cộng lại ta được  \(a^3+b^3+c^3\ge3\left(a+b+c\right)-6\)

Lại có \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (Cosi)

Do đó \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3\left(a+b+c+abc\right)-6=3.4-6=6\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\) có GTNN là 3

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

ta có: \(P=a^2+ab+bc+ac=a\left(a+b+c\right)+bc=a.\frac{1}{abc}+bc=\frac{1}{bc}+bc\)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy: 

\(bc+\frac{1}{bc}\ge2\sqrt{\frac{1}{bc}.bc}=2\)

Dấu = xảy ra khi bc=1.( Chẳng hạn khi b=c=1;\(a=\sqrt{2}-1\))

Cảm ơn bạn nhé...

4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

í lộn, bài 4:v Bài 3 thấy quen quen, đợi chút em lục lại@Hoàng Quốc Tuấn 

Từ: \(a+b+c=1\Leftrightarrow a=1-b-c\)

Mà theo đề bài:

\(a\le b+1\le c+2\)

\(\Rightarrow1-b-c\le b+1\le c+2\)

\(\Rightarrow2\left(c+2\right)\ge1-b-c+b+1\)

\(\Rightarrow2c+4\ge2-c\Leftrightarrow3c+4\ge2\Leftrightarrow3c\ge-2\Leftrightarrow c\ge-\frac{2}{3}\)

Từ: a+b+c=1⇔a=1−b−c

Mà theo đề bài:

a≤b+1≤c+2

⇒1−b−c≤b+1≤c+2

⇒2(c+2)≥1−b−c+b+1

⇒2c+4≥2−c⇔3c+4≥2⇔3c≥−2⇔c≥−23 

...