Ta có:

\(VT=2+\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Ta có:

\(\dfrac{x}{y}+\dfrac{x}{y}+1\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}\) 

Tương tự ...

Cộng lại ta có:

\(2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\right)+6\ge3\left(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{x}{z}\ge\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

\(\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{y^2}{z^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{y^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{z^2}{x^2}}+\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{z^2}}\ge\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{\dfrac{x}{y}}-\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{y}{z}}\right)^2+\left(\sqrt[3]{\dfrac{z}{x}}-\sqrt[3]{\dfrac{z}{y}}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(x^2+1\ge2x\) ; \(y^2+1\ge2y\) ; \(z^2+1\ge2z\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

Hoặc có thể biến đổi thành BĐT cần CM tương đương:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 1

x² + y² + z² + 3 ≥ 2( x + y + z )

<=> x² + y² + z² + 3 ≥ 2x + 2y + 2z

<=> x² + y² + z² + 3 - 2x - 2y - 2z ≥ 0

<=> ( x² - 2x + 1 ) + ( y² - 2y + 1 ) + ( z² - 2z + 1 ) ≥ 0

<=> ( x - 1 )² + ( y - 1 )² + ( z - 1 )² ≥ 0 ( đúng )

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z = 1

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3-2x-2y-2z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)( bđt này luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\y-1=0\\z-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

a.ta có:

\(x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\ge0\)

vì \(\left(x-y\right)^2\ge0,\left(y-z\right)^2\ge0,\left(z-x\right)^2\ge0\)

do đó : 

\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x-y-z

b. ta có:

\(x^2+y^2+z^2-\left(2xy-2zx+2yz\right)\)

\(=x^2+y^2+z^2-2xy-2zx+2yz\)

\(=\left(x-y+z\right)^2\ge0\)

do đó \(x^2+y^2+z^2\ge2xy-2xz+2yz\)

nhân VT ra rồi dùng cô si là ra 

ở nhở :v bị ngáo nhập :v

cơ mà hình như k được

\(VT=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)

\(=2+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\)

Bài toán trở thành \(\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\ge\frac{x+y+z}{3\sqrt{xyz}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{z}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{xyz}}=\frac{3z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Tương tự:

\(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{y}{y}\ge\frac{3y}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{x}{x}\ge\frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Leftrightarrow VT+3\ge3+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Is it true?