a) Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Với E là điểm bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AE} \)

b) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \).

Với hai điểm bất kì M, N ta có:

 \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {IN}  = 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IN}  = 2\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IN} } \right) = 2\overrightarrow {MN} .\)

c) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \)

Với hai điểm bất kì M, N ta có:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  - 3\overrightarrow {MN}  = 3\overrightarrow {MG}  - 3\overrightarrow {MN}  = 3\left( {\overrightarrow {MG}  - \overrightarrow {MN} } \right) = 3\overrightarrow {NG} \).

a) Giả sử \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\) (đúng do tứ giác ABCD là hình bình hành).
b) \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CN}\)
\(=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CN}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}\right)\).
Do các tứ giác AMOE, MOFB, OFCN, EOND cũng là các hình bình hành.
Vì vậy \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{BM};\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{ED}\).
Do đó: \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CN}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}\right)\)
\(=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}\right)\)
\(=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}\) (Đpcm).

Do là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành nên:
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\)\(=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\)
\(=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\)
\(=4\overrightarrow{MO}\) (ĐPCM).

a) Ta có: \(\overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AN}  \Rightarrow CE//AN\) và \(CE = AN = ND = BM = MC\)

Suy ra \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {CE} \)

+) \(\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {NE} \)

+) ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \)

\(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BM} \)

+) Ta có \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN}  \Rightarrow AMCN\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AM} \)

\(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AE} \) (vì AMED là hình bình hành)

b) Ta có:

+) \(\overrightarrow {NC}  - \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {NM} \)

+) \(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB} \)

+) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DB} \)

c) Ta có:

\(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AC} \)

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có

\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) (đpcm)

a.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\)

VT:\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\)

=\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}\)

=\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=0\left(đpcm\right)\)

b.\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{0}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\left(LĐ\right)\)

Fuck

a) Chứng minh \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AD}\)

Ta có: \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}\left(đpcm\right)\) ( vì \(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}\) )

b) Chứng minh \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\) ( theo quy tắc hình bình hành )

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC\left(đpcm\right)\)

bài này chả khó áp dụng 1 bước là ra ngay điều cần chứng minh rồi

Tham khảo:

Ta có: \( \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  =  \overrightarrow {AC} \) (do ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \) Tứ giác ABMC là hình bình hành.

\( \Rightarrow  \overrightarrow {DC} =\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CM} \). 

\( \Rightarrow C\) là trung điểm DM.

Vậy M thuộc DC sao cho C là trung điểm DM.

Chú ý khi giải

+) Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

+) ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

a) \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {MD}  = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD}  = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  + \left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {MO} \)

\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  = 4\overrightarrow {MO} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO}  = 4\overrightarrow {MO} \) (luôn đúng)

(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)

b) ABCD là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Suy ra \(\)\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AC} \) (đpcm)