a) Đặt D, E lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow a \)hay \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {DE} \)

\( \Leftrightarrow MAED\) là hình bình hành.

Do đó A là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow a \)và điểm M.

Tương tự ta có:

B là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow b \)và điểm M.

Lại có: \(\overrightarrow {MC}  =  - \overrightarrow b  =  - \overrightarrow {MB} \) do đó \(MC = MB\) và hai vecto \(\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {MC} \) ngược hướng nhau.

Hay M là trung điểm đoạn thẳng BC.

b) Lấy N là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMCN.

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MN} \)

Mà: \(\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow a ;\;\overrightarrow {MC}  =  - \overrightarrow b \)

\( \Rightarrow \overrightarrow a  + ( - \overrightarrow b ) = \overrightarrow {MN} \).

Cách 1:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BG}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow {BG} ;\\\overrightarrow {CG}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BG}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {BG}  = - \overrightarrow b  + \overrightarrow {BG} ;\end{array}\)(*)

Lại có: \(\overrightarrow {BD} =\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AD} =  - \overrightarrow a  + \overrightarrow b \).

\(\overrightarrow {BG} ,\overrightarrow {BD} \) cùng phương và \(\left| {\overrightarrow {BG} } \right| = \frac{2}{3}BO = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow {BD} } \right|\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD}  = \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

Do đó (*) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow {BG}  = \overrightarrow a  + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\\\overrightarrow {CG}  = -\overrightarrow b  + \overrightarrow {BG}  = -\overrightarrow b  + \frac{1}{3}\left( { - \overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) =  - \frac{1}{3}\overrightarrow a  - \frac{2}{3}\overrightarrow b ;\end{array} \right.\)

Vậy \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow a  - \frac{2}{3}\overrightarrow b .\)

Cách 2:

Gọi AE, CF là các trung tuyến trong tam giác ABC.

Ta có: 

\(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AE}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB}  + \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)} \right] \\= \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b \)

\(\overrightarrow {CG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {CF}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} } \right) = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {CB} } \right] = \frac{1}{3}\left( {2\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \frac{1}{3}\left( { - 2\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} } \right) =  - \frac{1}{3}\overrightarrow a  - \frac{2}{3}\overrightarrow b \)

Vậy \(\overrightarrow {AG}  = \frac{2}{3}\overrightarrow a  + \frac{1}{3}\overrightarrow b ;\;\overrightarrow {CG}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow a  - \frac{2}{3}\overrightarrow b .\)

Bước 1: Dựng hình bình hành có cạnh song song với giá của vecto \(\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b \) và đường chéo là vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \).

Ta dựng được hình hình hành ABCD và DEGH. Trong đó:  DC và DE nằm trên giá của vecto \(\overrightarrow a \), DA và DH nằm trên giá của vecto \(\overrightarrow b \), còn vecto \(\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v \) lần lượt là hai dường chéo.

Dễ thấy: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {DC} ,\;\overrightarrow v  = \overrightarrow {DH}  + \overrightarrow {DE} \)

Mà \(\overrightarrow {DA}  = 3\overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow a \;,\;\overrightarrow {DH}  = 3\overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DE}  =  - 2\overrightarrow a .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = 2\overrightarrow b  + \overrightarrow a ,\;\,\overrightarrow v  = 3\overrightarrow b  - 2\overrightarrow a \)

\(\begin{array}{l}{ + \, (\overrightarrow a  + \overrightarrow b )^2} = (\overrightarrow a  + \overrightarrow b )(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\\ = \overrightarrow a .(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) + \overrightarrow b .(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) \\= {\overrightarrow a ^2} + \overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow b .\overrightarrow a  + {\overrightarrow b ^2} \\= {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}.\\  + \, {(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )^2} =(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )(\overrightarrow a  - \overrightarrow b )\\ = \overrightarrow a .(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) - \overrightarrow b .(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) \\= {\overrightarrow a ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b  - \overrightarrow b .\overrightarrow a  + {\overrightarrow b ^2} \\= {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}. \\ + \, (\overrightarrow a  - \overrightarrow b )(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) \\= \overrightarrow a .(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) + \overrightarrow b .(\overrightarrow a  - \overrightarrow b ) \\= {\overrightarrow a ^2} - \overrightarrow a .\overrightarrow b  + \overrightarrow b .\overrightarrow a  - {\overrightarrow b ^2} \\= {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}.\end{array}\)

Tham khảo:

Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).

Từ B, M, N ta dựng hình bình hành BMNC.

Khi đó: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BC} \) hay \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {BC} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow a  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

a) Vì  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a  = \overrightarrow {BC} \) nên A, B, C thẳng hàng và B là trung điểm của AC.

Vậy \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)

b) Ta có:  \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\)

Mà \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a \) nên:  \(\overrightarrow a  + \overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng, \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow a } \right| = 2.\left| {\overrightarrow a } \right|\).

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD = BC\end{array} \right.\) (do tứ giác ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow{x}\) ⊥ \(\overrightarrow{y}\)

⇒ \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{2a}-\overrightarrow{b}\right)=0\). Đặt \(\left|\overrightarrow{a}\right|=a;\left|\overrightarrow{b}\right|=b\)

⇒ 2a² - \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) + 2\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) - b² = 0

⇒ \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) = b² - 2a² = 4 - 4 = 0

⇒ \(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=90^0\)

a) Nếu A, B, C thẳng hàng thì đường thẳng AB trùng đường thẳng AC, do đó hai vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương.

b) Nếu hai vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương thì đường thẳng AB trùng đường thẳng AC, do đó ba điểm A, B, C có thẳng hàng.