1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

x^2+x+1/4+3/4

=(x+1/2)^2+3/4

=> A _min=3/4

Câu  kia tương tự .......

\(A=x^2+x+1=x^2+2x.\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0,x\in R\)

nên \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4},x\in R\)

Vậy \(Min_A=\frac{3}{4}\)khi \(x+\frac{1}{2}=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

\(B=\left(x+2\right)^2+\left(x-3\right)^2=x^2+2x+1+x^2-6x+9=2x^2-4x+10=2\left(x^2-2x+5\right)\)

\(B=2\left(x^2-2x+1+4\right)=2\left(x-1\right)^2+4\)

Vì \(2\left(x-1\right)^2\ge0,x\in R\)

nên \(2\left(x-1\right)^2+4\ge4,x\in R\)

Vậy \(Min_B=4\)khi \(x-1=0\Rightarrow x=1\)

x=1 nhé

a)A=x(x+1)(x+2)(x+3)

\(=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)\)

Đặt \(t=x^2+3x\) ta đc:

\(t\left(t+2\right)\)\(=t^2+2t+1-1\)

\(=\left(t+1\right)^2-1\ge-1\)

Dấu = khi \(t=-1\Rightarrow x^2+3x=-1\)\(\Rightarrow\)\(x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}\)

Vậy MinA=-1 khi \(x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}\)

b)\(B=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Với a,b,c dương ta áp dụng Bđt Cô si 3 số:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Dấu = khi a=b=c

Vậy MinB=9 khi a=b=c

c)\(C=a^2+b^2+c^2\)

Áp dụng Bđt Bunhiacopski 3 cặp số ta có:

\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(1a+1b+1c\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow C\ge\frac{3}{4}\)

Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Vậy MinC=\(\frac{3}{4}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

1:

a: =x^2-7x+49/4-5/4

=(x-7/2)^2-5/4>=-5/4

Dấu = xảy ra khi x=7/2

b: =x^2+x+1/4-13/4

=(x+1/2)^2-13/4>=-13/4

Dấu = xảy ra khi x=-1/2

e: =x^2-x+1/4+3/4=(x-1/2)^2+3/4>=3/4

Dấu = xảy ra khi x=1/2

f: x^2-4x+7

=x^2-4x+4+3

=(x-2)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=2

2:

a: A=2x^2+4x+9

=2x^2+4x+2+7

=2(x^2+2x+1)+7

=2(x+1)^2+7>=7

Dấu = xảy ra khi x=-1

b: x^2+2x+4

=x^2+2x+1+3

=(x+1)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=-1

Áp dụng BĐT giá trị tuyệt đối: \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)

Ta có:\(M=\left(\left|-x+1\right|+\left|x-3\right|\right)+\left|x-2\right|\ge\left|-x+1+x-3\right|+\left|x-2\right|=2+\left|x-2\right|\ge2\) với mọi x

Do đó M_Min=2

\(M=2\Leftrightarrow\int^{\left(-x+1\right).\left(x-3\right)\ge0}_{x=2}\Leftrightarrow\int^{1\le x\le3}_{x=2}\Leftrightarrow x=2\)

Vậy M_Min=2 tại x=2
 

GTNN của M  =6

a) Ta có : \(A=\left|x+1\right|+\left|y-2\right|\)

\(\ge\left|x+1+y-2\right|\)

\(=\left|x+y-1\right|=\left|5-1\right|=\left|4\right|=4\)

Dấu "=" xảy ra <=> (x + 1)(y - 2) \(\ge\)0

Vậy Min A = 4 <=>  (x + 1)(y - 2) \(\ge\)0

1. Vì \(x^2\ge0\left(\text{ với mọi x}\right)\)(1)

=>\(x^2+2\ge2>0\)

=>\(\left(x^2+2\right)^2>0\)(2)

Từ (1) và (2) =>\(\frac{x^2}{\left(x^2+2\right)^2}\le\frac{0}{\left(x^2+2\right)^2}=0\) hay A\(\le0\)

=> giá trị lớn nhất của A là 0, khi và chỉ khi \(x^2=0\) <=> x=0.

3. 

P=(x+y)(x^2-xy+y^2)+xy

P=x^2+y^2-xy+xy

P=x^2+y^2