Cho đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\), mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(a\) và cắt \(\left( P \right)\) theo giao tuyến \(b\) (Hình 10). Trong \(\left( Q \right)\), hai đường thẳng \(a,b\) có bao nhiều điểm chung?

Cho ba mặt phẳng song song \(\left( P \right),\left( Q \right),\left( R \right)\) lần lượt cắt hai đường thăng \(a\) và \(a'\) tại các điểm \(A,B,C\) và \(A',B',C'\). Gọi \({B_1}\) là giao điểm của \(AC'\) với \(\left( Q \right)\) (Hình 12).

a) Trong tam giác \(ACC'\), có nhận xét gì về mối liên hệ giữa \(\frac{{AB}}{{BC}}\) và \(\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C'}}\)?

b) Trong tam giác \(AA'C'\), có nhận xét gì về mối liên hệ giữa \(\frac{{A{B_1}}}{{{B_1}C'}}\) và \(\frac{{A'B'}}{{B'C'}}\)?

c) Từ đó, nếu nhận xét về mối liên hệ giữa các tỉ số \(\frac{{AB}}{{A'B'}},\frac{{BC}}{{B'C'}},\frac{{AC}}{{A'C'}}\).

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( R \right)\). Gọi \(a\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Lấy điểm \(M\) trong \(\left( R \right)\), vẽ hai đường thẳng \(MH\) và \(MK\) lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\). Hỏi:

a) Hai đường thẳng \(MH\) và \(MK\) có nằm trong \(\left( R \right)\) không?

b) Đường thẳng \(a\) có vuông góc với \(\left( R \right)\) không?

Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(b\) và song song với \(a\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng \(a\), vuông góc với \(\left( Q \right)\) và cắt \(b\) tại điểm \(J\). Trong \(\left( P \right)\), gọi \(c\) là đường thẳng đi qua \(J\), vuông góc với \(a\) và cắt \(a\) tại điểm \(I\).

Đường thẳng \(IJ\) có vuông góc với \(b\) không? Giải thích.

Cho tam giác ABC. Gọi  \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và  \(\left(\beta\right)\) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Chứng minh rằng hai mặt phẳng  \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) cắt nhau và giao tuyến d của chúng vuông góc với mặt phẳng (ABC) ?

Cho đường thẳng \(a\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(a\) song song với một đường thẳng \(b\) nằm trong \(\left( P \right)\). Đặt \(\left( Q \right) = mp\left( {a,b} \right)\).

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

b) Giả sử \(a\) có điểm chung \(M\) với \(\left( P \right)\) thì điểm \(M\) phải nằm trên đường thẳng nào? Điều này có trái với giả thiết \(a\parallel b\) hay không?

Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa hai đường thẳng \(a,b\) cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Giả sử \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có điểm chung \(M\) thì \(\left( P \right)\) cắt \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến \(c\) (Hình 5).

a) Giải thích tại sao đường thẳng \(c\) phải cắt ít nhất một trong hai đường thẳng \(a,b\). Điều này có trái với giả thiết \(a\) và \(b\) cùng song song với \(\left( Q \right)\) không?

b) Rút ra kết luận về số điểm chung và vị trí tương đối của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ? Mệnh đề nào sai ?

a) Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d vuông góc với b

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau

c) Một mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và một đường thẳng a cùng vuông góc với đường thẳng b thì a // \(\left(\alpha\right)\)

d) Hai mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) và \(\left(\beta\right)\) phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng \(\left(\gamma\right)\) thì  \(\left(\alpha\right)\) // \(\left(\beta\right)\)

e) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau

f) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Giả sử \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với cạnh SC, \(\left(\alpha\right)\) cắt SC tại I

a) Xác định giao điểm K của SO với phẳng \(\left(\alpha\right)\)

b) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và BD // \(\left(\alpha\right)\)

c) Xác định giao tuyến d của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\). Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\)