Đặt \(\frac{a^2+1}{a}=x\Rightarrow x=\frac{a^2+1}{a}\ge\frac{2a}{a}=2\)

Khi đó:

\(S=\frac{5x}{2}+\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{9x}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{4}}+\frac{9\cdot2}{4}=1+\frac{18}{4}=\frac{11}{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại a=1

a/ Ta có 

\(K^4+\frac{1}{4}=K^4+K^2+\frac{1}{4}-K^2=\left(K^2+\frac{1}{2}\right)^2-K^2=\left(K^2+K+\frac{1}{2}\right)\left(K^2-K+\frac{1}{2}\right)\)

Ta lại có 

\(K^2+K+\frac{1}{2}=\left(K+1\right)^2-\left(K+1\right)+\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow K^4+\frac{1}{4}=\left(K^2-K+\frac{1}{2}\right)\left(\left(K+1\right)^2-\left(K+1\right)+\frac{1}{2}\right)\)

Áp dụng vào bài toán ta được

\(=\frac{101^2-101+0,5}{1^2-1+0,5}=20201\)\(1S=\frac{\left(2^2-2+0,5\right)\left(3^2-3+0,5\right)\left(4^2-4+0,5\right)\left(5^2-5+0,5\right)...\left(100^2-100+0,5\right)\left(101^2-101+0,5\right)}{\left(1^2-1+0,5\right)\left(2^2-2+0,5\right)\left(3^2-3+0,5\right)\left(4^2-4+0,5\right)...\left(99^2-99+0,5\right)\left(100^2-100+0,5\right)}\)

b/

\(\frac{3\left(x+y\right)}{3\sqrt{x\left(4x+5y\right)}+3\sqrt{y\left(4y+5x\right)}}\)

\(\ge\frac{3\left(x+y\right)}{\frac{9x+4x+5y}{2}+\frac{9y+4y+5x}{2}}\)

\(=\frac{1}{3}\)

Dấu = xảy ra khi x = y

Bấm sao mà nói đẩy đáp số lên trên mất rồi

\(\Rightarrow1S=\frac{101^2-101+0,5}{1^2-1+0,5}=20201\)

p \(\ge\)\(\frac{4}{a^2+b^2+2\left(a+b\right)}\) +\(\sqrt{\left(1+ab\right)^2}\) (bunhia và cosi)

  =\(\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+1+ab=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+a+b+1\)

do \(a+b=ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge4\)

dạt a+b = t thì t>=4

cần tìm min \(\frac{4}{t^2}+t+1=\frac{4}{t^2}+\frac{t}{16}+\frac{t}{16}+\frac{7t}{8}+1\)

                                      \(\ge3.\sqrt[3]{\frac{4}{t^2}.\frac{t}{16}.\frac{t}{16}}+\frac{7.4}{8}+1=\frac{21}{4}\)

dau = xay ra khi a=b=2

\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{5\left(a^2+1\right)}{2a}=\frac{a}{a^2+1}+\frac{10\left(a^2+1\right)}{4a}\)

\(S=\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\)

Vì \(a>0\)nên áp dụng bất dẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a\left(a^2+1\right)}{4\left(a^2+1\right)a}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=2.\frac{1}{2}=1\left(1\right)\)

Vì \(a>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:

\(a^2+1\ge2a\)

\(\Leftrightarrow9\left(a^2+1\right)\ge9.2a=18a\)

\(\Leftrightarrow\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge\frac{18a}{4a}=\frac{9}{2}\left(2\right)\)(vì \(a>0\))

Từ (1) và (2), ta được:

\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}+\frac{9\left(a^2+1\right)}{4a}\ge1+\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow S\ge\frac{11}{2}\)

Dấu bằng xảy ra

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{a}{a^2+1}=\frac{a^2+1}{4a}\\a^2=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=1\)(thỏa mãn \(a>0\))

Vậy \(minS=\frac{11}{2}\Leftrightarrow a=1\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{1}{a^2+1}+\frac{a^2+1}{4a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1$

$a^2+1\geq 2a\Rightarrow \frac{9(a^2+1)}{4a}\geq \frac{9.2a}{4a}=\frac{9}{2}$

Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:

$\frac{1}{a^2+1}+\frac{5(a^2+1)}{2a}\geq \frac{11}{2}$

$\Leftrightarrow S\geq \frac{11}{2}$

Vậy $S_{\min}=\frac{11}{2}$ khi $a=1$

alibaba nguyễn giúp em với  WTFシSnow