Vì \(x\ne0,y\ne0\) nên điều kiện đã cho tương đương với \(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}=2\Rightarrow\frac{x^2}{y^4}+\frac{y^2}{x^4}+\frac{2}{xy}=4\Leftrightarrow4\left(1-\frac{1}{xy}\right)=\frac{x^2}{y^4}+\frac{y^2}{x^4}-\frac{2}{xy}=\left(\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{xy}}=\frac{1}{2}\left|\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}\right|\)

làm r mà bạn ei

Ta có:

\(x\sqrt{1-y^2}+y.\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{1}{2}\left(x^2+1-y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(y^2+1-x^2\right)=1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{1-y^2}\\y=\sqrt{1-x^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=1-y^2\\y^2=1-x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x^2+y^2=1\) (đpcm)

x y + ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 ⇔ ( 1 + x ) 2 ( 1 + y ) 2 = 1 − x y ⇒ ( 1 + x 2 ) ( 1 + y 2 ) = 1 - x y 2 ⇔ 1 + x 2 + y 2 + x 2 y 2 = 1 − 2 x y + x 2 y 2 ⇔ x 2 + y 2 + 2 x y = 0 ⇔ x + y 2 = 0 ⇔ y = − x ⇒ x 1 + y 2 + y 1 + x 2 = x 1 + x 2 − x 1 + x 2 = 0

Trả lời: 

       Sorry, mk ms lớp 7,ko làm đc lớp 9!

-Tìm \(\Delta\)để tìm điều kiện cho phương trình có 2 nghiệm

-Tìm tích \(x_1_{ }x_2=\frac{c}{a}\)để tìm đk cho 2 nghiệm khác 0

- Tìm tổng và tích 2 nghiệm theo định lí Vi-ét

- \(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{-5}{2}\Leftrightarrow\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{-5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x1+x2\right)^2}{x1x2}=\frac{-1}{2}\)

Thay tích với tổng vào để tính nhé.Mình bận chỉ hướng dẫn ý chính. Có gì sai sót bỏ qua cho

Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y}\). khi đó gt trở thành:

\(a+b=a^2+b^2-ab\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow o\le a+b\le4\);

\(A=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)=\left(a+b\right)^2\le16\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=2 <=> x=y=1/2

Vậy Max A = 16

Ta có \(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{xz}{x+z}\)

=> \(\frac{xyz}{xz+yz}=\frac{xyz}{xy+xz}=\frac{xyz}{xy+yz}\)

=> \(xz+yz=xy+xz=xy+yz\)(vì x ; y ;z \(\ne0\Leftrightarrow xyz\ne0\))

=> \(\hept{\begin{cases}xz+yz=xy+xz\\xy+xz=xy+yz\\xz+yz=xy+yz\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}yz=xy\\xz=yz\\xz=xy\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=x\\x=y\\y=z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z\)

Khi đó M = \(\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=1\left(\text{vì }x=y=z\right)\)