TAM GIÁC ABC CÓ CÁC GÓC THỎA MÃN:
\(\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}\)\(\le\tan\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}\le\)\(2\cot\frac{C}{2}\)
CHỨNG MINH TAM GIÁC ABC LÀ TAM GIÁC ĐỀU
TAM GIÁC ABC CÓ CÁC GÓC THỎA MÃN:
\(\tan\frac{A}{2}+\tan\frac{B}{2}\)\(\le\tan\frac{C}{2}\)VÀ \(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{B}{2}\le2\cot\frac{C}{2}\)
CHỨNG MINH TAM GIÁC ABC LÀ TAM GIÁC ĐỀU
Đề sai. Giả sử tam giác là tam giác đều thì ta có:
\(tan\left(30\right)+tan\left(30\right)=\frac{2\sqrt{3}}{3}>\frac{\sqrt{3}}{3}=tan\left(30\right)\)
Nếu nó đều thì bất đẳng thức bị sai là sao dùng bất đẳng thức đó để chứng minh nó đều được.
Sửa đề:
\(\hept{\begin{cases}tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}\le2tan\frac{C}{2}\left(1\right)\\cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}\le2cot\frac{C}{2}\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{1}{tan\frac{A}{2}}+\frac{1}{tan\frac{B}{2}}\le\frac{2}{tan\frac{C}{2}}\le\frac{4}{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\left(tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}\right)^2\le4tan\frac{A}{2}.tan\frac{B}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(tan\frac{A}{2}-tan\frac{B}{2}\right)^2\le0\)
Dấu = xảy ra khi \(tan\frac{A}{2}=tan\frac{B}{2}\)
\(\Rightarrow A=B\)
Thế lại hệ ban đầu ta được
\(\hept{\begin{cases}2tan\frac{A}{2}\le2tan\frac{C}{2}\\2cot\frac{A}{2}\le2cot\frac{C}{2}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}tan\frac{A}{2}\le tan\frac{C}{2}\\tan\frac{A}{2}\ge tan\frac{C}{2}\end{cases}}\)
Dấu = xảy ra khi \(A=C\)
Vậy ta có được \(A=B=C\) nên tam giác ABC là tam giác đều.
Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có :
a) \(\tan\frac{A}{2}.\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}.\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}.\tan\frac{A}{2}=1\)
b) \(\cot A.\cot B+\cot B.\cot C+\cot C.\cot A=1\)
Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) \(\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{{B + C}}{2}\)
b) \(\tan \frac{{B + C}}{2} = \cot \frac{A}{2}\)
Xét tam giác ABC, ta có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o} \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = {90^o}\)
Do đó \(\frac{{\widehat A}}{2}\) và \(\frac{{\widehat B + \widehat C}}{2}\) là hai góc phụ nhau.
a) Ta có: \(\sin \frac{A}{2} = \cos \left( {{{90}^o} - \frac{A}{2}} \right) = \cos \frac{{B + C}}{2}\)
b) Ta có: \(\tan \frac{{B + C}}{2} = \cot \left( {{{90}^o} - \frac{{B + C}}{2}} \right) = \cot \frac{A}{2}\)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn , vẽ đường AD và BE ,gọi H là Trực tâm của tam giác.
a)C/m \(\tan A\times\tan C=\frac{AD}{HD}\)
b)C/m \(DH\times DA\le\frac{BC^2}{4}\)
c)Gọi a,b,c lần lượt là độ dài các cạnh BC,AC,AB của tam giác ABC .C/m \(\sin\frac{A}{2}\le\frac{A}{2\sqrt{ab}}\)
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
\(\cot A + \cot B + \cot C = \frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}\)
Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\)
và \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)
\( \Rightarrow \cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{a}{{2R}} = R.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}\)
Tương tự ta có: \(\cot B = R.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}\) và \(\cot C = R.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C = \frac{R}{{abc}}\left[ {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \right]\\ = \frac{R}{{abc}}\left( {2{b^2} + 2{c^2} + 2{a^2} - {a^2} - {c^2} - {b^2}} \right) = \frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}\end{array}\)
cho tam giác ABC , chứng minh rằng : a) sin(B + C) = sinA ; b) cos(A + B) = -cosC ; c) sin\(\frac{B+C}{2}\) = cos\(\frac{A}{2}\) ; d) tan\(\frac{A+C}{2}\) = cot\(\frac{B}{2}\)
a) Sin (B+C) = Sin (180-A) = Sin A
b) Cos (A+B) = Cos ( 180-A) = Cos A
c) Sin (\(\dfrac{B+C}{2}\)) = Sin \(\left(\dfrac{180-A}{2}\right)\)= Sin \(\left(90^0-\dfrac{A}{2}\right)\)= Cos \(\dfrac{A}{2}\)
d) Tan \(\left(\dfrac{A+C}{2}\right)\)= Tan\(\left(\dfrac{180-B}{2}\right)\)=Tan\(\left(90^0-\dfrac{B}{2}\right)\)= Cot \(\dfrac{B}{2}\)
cho tam giác ABC .chứng minh
\(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+sin\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}cos\frac{A}{2}+sin\frac{C}{2}cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}=sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}+tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}\)
Tự chứng minh từng cái này rồi suy ra cái đó nhé b.
Ta có: \(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=sin^2\frac{A}{2}\)
Tương tự ta suy ra:
\(sin\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}+cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}+3sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\left(1\right)\)
Tiếp theo chứng minh:
\(2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{cosA+cosB+cosC-1}{2}\left(2\right)\)
\(sin^2\frac{A}{2}+sin^2\frac{B}{2}+sin^2\frac{C}{2}=\frac{3}{2}-\frac{cosA+cosB+cosC}{2}\left(3\right)\)
\(tan\frac{A}{2}tan\frac{B}{2}+tan\frac{B}{2}tan\frac{C}{2}+tan\frac{C}{2}tan\frac{A}{2}=1\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3), (4) suy được điều phải chứng minh
trinh le na
cho bạn 4 năm nữa cũng chưa hiểu đâu
Cmr trong mọi tam giác ABC
a) a = b.\(\cos C\) + c.\(\cos B\)
b) a = r(\(\cot\frac{B}{2}\) + \(\cot\frac{C}{2}\))
c) ra = p.\(\tan\frac{A}{2}\)
d) r = (p - a).\(\tan\frac{A}{2}\)
Cho tam giác ABC với các đường cao ha,hb,hc;a,b,c lần lượt là độ dài các cạnh BC,CA,AB . Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{h_a}+\frac{b}{h_b}+\frac{c}{h_c}\ge2\left(tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}\right)\)