chứng minh các hằng đằng thức sau :
a)(a+b+c)^2 +(b+c-a)^2 +(c+a-b)^2 +(a+b-c)^2=4(a^2+b^2+c^2)
b)(a+b+c+d)^2 +(a+b-c-d)^2 +(a+c-b-d)^2 +(a+c-b-d)^(a+d-b-c)^2=4(a^2+b^2+c^2+d^2)
Những câu hỏi liên quan
1.Chứng minh các đẳng thức sau
a)(a+b+c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2= 4(a^2+b^2+c^2)
b)(a+b+c+d)^2+(a+b+c-d)^2+(a+c-b-d)^2+(a+d-b-c)^2= 4(a^2+b^2+c^2+d^2)
c)(a^2-b^2-c^2-d^2)+2(ab-bc+cd+da)^2= (a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab-ad+bc+dc)^2
d)(a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2= (a+b)^2+(b+c)^2=(c+a)^2
2. Chứng minh rằng
a) Nếu (a+b+c+d)(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d) thì a/b=c/d
b) Nếu (a+b+c)^2= 3(ab+bc+ca) thì a=b=c
CM các hằng đẳng thức sau :
a) (a+b+c)2+( b+c-a)2+(c+a-b)2+(a+b-c)2=4(a2+b2+c2)
b) (a+b+c+d)2+(a+b-c-d)2+(a+c-b-d)2+(a+d-b-c)2=4(a2+b2+c2+d2)
#)Giải :
b) Ta có :
\(\left[\left(a+b\right)+\left(c+d\right)\right]^2=\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)\left(c+d\right)+\left(c+d\right)^2\)
Áp dụng hằng đẳng thức tương tự với ba đa thức còn lại, ta được :
\(2\left(a+b\right)^2+2\left(a-b\right)^2+2\left(c+d\right)^2+2\left(c-d\right)^2\)
\(=2\left(a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2+c^2+2cd+d^2+c^2-2cd+d^2\right)\)
\(=4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Đúng 0
Bình luận (0)
chứng minh các đẳng thức sau
a)\(\left(a+b+c\right)^2+\left(b+c-a\right)^2\left(c+a-b\right)^2\left(a+b+c\right)^2=4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
b) \(\left(a+b+c+d\right)^2+\left(a+b-c-d\right)^2+\left(a+c-b-d\right)^2+\left(a+d-b-c\right)^2=4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)
a,CMR:a/b=b/c=c/a thì a=b=c
b,CMR:nếu có a/b=c/d=p/q thì ma+nc+ep/mb+nd+ep=a/b=c/d=p/q
c,từ tỉ lệ thức hãy =>các tỉ lệ thức sau
a,a^2+b^2/c^2+d^2=(a+b)^2/(c+d)^2
(a-b)^2/(c-d)^2=a^4+ b^4/c^4+d^4
a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Đúng 0
Bình luận (1)
cho cac so a,b,c,d thỏa mãn a^2+b^2+(a+b)^2=c^2+d^2+(c+d)^2 chứng minh rằng a^4+b^4+(a+b)^4=c^4+d^4+(c+d)^4
Cho tỉ lệ thức a/b = c/d. Chứng yor rằng: 1) a/a+b = c/c+d; 2) 2.a+b/a-2.b = 2.c+d/c-2.d; 3) a+b/a-c = c+d=c-d; 4) 5.a+3.b/5.c+3.d = 5.a-3.b/5.c-3.d
1: Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)
=>\(a=b\cdot k;c=d\cdot k\)
\(\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{bk}{bk+b}=\dfrac{bk}{b\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\)
\(\dfrac{c}{c+d}=\dfrac{dk}{dk+d}=\dfrac{dk}{d\left(k+1\right)}=\dfrac{k}{k+1}\)
Do đó: \(\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{c}{c+d}\)
2: \(\dfrac{2a+b}{a-2b}=\dfrac{2\cdot bk+b}{bk-2b}=\dfrac{b\left(2k+1\right)}{b\left(k-2\right)}=\dfrac{2k+1}{k-2}\)
\(\dfrac{2c+d}{c-2d}=\dfrac{2dk+d}{dk-2d}=\dfrac{d\left(2k+1\right)}{d\left(k-2\right)}=\dfrac{2k+1}{k-2}\)
Do đó: \(\dfrac{2a+b}{a-2b}=\dfrac{2c+d}{c-2d}\)
3: \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{bk+b}{bk-b}=\dfrac{b\left(k+1\right)}{b\cdot\left(k-1\right)}=\dfrac{k+1}{k-1}\)
\(\dfrac{c+d}{c-d}=\dfrac{dk+d}{dk-d}=\dfrac{d\left(k+1\right)}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{k+1}{k-1}\)
Do đó: \(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}\)
4: \(\dfrac{5a+3b}{5c+3d}=\dfrac{5\cdot bk+3b}{5dk+3d}=\dfrac{b\left(5k+3\right)}{d\left(5k+3\right)}=\dfrac{b}{d}\)
\(\dfrac{5a-3b}{5c-3d}=\dfrac{5\cdot bk-3b}{5\cdot dk-3d}=\dfrac{b\left(5k-3\right)}{d\left(5k-3\right)}=\dfrac{b}{d}\)
Do đó: \(\dfrac{5a+3b}{5c+3d}=\dfrac{5a-3b}{5c-3d}\)
Đúng 3
Bình luận (0)
Cho a,b,c,d là các số thực. Chứng minh rằng a^2+b^2>=2ab(1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau
a) (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)>=8abc
b) (a^2+4)(b^2+4)(c^2+4)(d^2+4)>=256abcd
(a^2+b^2)/2>=ab
<=>(a^2+b^2)>=2ab
<=> a^2+2ab+b^2>=2ab
<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)
=> điều phải chứng minh.
Đúng 0
Bình luận (0)
Xét hiệu: \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xra <=> a = b
Áp dụng ta có:
a) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
dấu "=" xra <=> a = b = c = 1
b) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)
Dấu "=" xra <=> a = b= c = d = 2
Đúng 0
Bình luận (0)
a) Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{cases}}\)
nhân theo 3 vế BDDT ta đc:
( a^2+1) (b^2+1)(c^2+1) >= 2a.2b.2c = 8abc
"=" <=> a=b=c
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho các số a,b,c,d thõa mãn .
a^2 +b^2 +(a-b)^2=c^2+d^2 + (c-d)^2
Chứng minh rằng: a^4 +b^4 + (a-b)^=c^4 +d^4 + (c-d)^4
giúp mình nhé tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c,d là các số thực. Chứng minh rằng a^2+b^2>=2ab(1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau
a) (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)>=8abc
b) (a^2+4)(b^2+4)(c^2+4)(d^2+4)>=256abcd
a ) Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge2ab\) cho các cặp số thực , ta có :
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
b ) Làm tương tự như a )
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
a) Lại có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\)
cmtt \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\left(dpcm\right)\)
b) Tiếp tục có \(\left(a-2\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)
CMTT: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+4\ge4b\\c^2+4\ge4c\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\ge4a.4b.4c=256abc\left(dpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)