Do ABCD là hình thang cân

⇒ ∠A = ∠B và ∠C = ∠D

Mà ∠A = ∠C (gt)

⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D

Ta có:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360⁰ (tổng các góc trong tứ giác ABCD)

⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 360⁰ : 4 = 90⁰

⇒ ABCD là hình chữ nhật

Bài giải:

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

∆ECD có (do ) nên là tam giác cân.

Suy ra EC = ED (1)

Tương tự EA = EB (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

\(\(\widehat{C_1}\)

Nối A với C, B với D. Gọi M là giao điểm của AC và BD.

Ta có: \(\widehat{MDC}=\widehat{MCD}\left(gt\right)\)

=> \(\bigtriangleup\)MDC cân tại M

=> MC = MD (1)

Ta lại có: \(\widehat{MAB}=\widehat{MCD}\) (vì hai góc so le trong và AB//CD)

\(\widehat{CDM}=\widehat{ABM}\) (vì hai góc so le trongvà AB//CD)

Mà \(\widehat{CDM}=\widehat{DCM}\left(gt\right)\) nên \(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)

=> \(\bigtriangleup\) AMB cân tại M

=> MA = MB (2)

Lại có: \(AC=AM+MC\)

\(BD=BM+MD\)

Mà: \(AM=BM\left(cmt\right)\)

\(MC=MD\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AC=BD\)

=> Hình thang ABCD cân.

Bài 6: 

Xét ΔBAC có BA=BC

nên ΔBAC cân tại B

Suy ra: \(\widehat{BAC}=\widehat{BCA}\)

mà \(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\)

nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ACD}\)

hay CA là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\)

Bài 3: 

Xét ΔACD và ΔBDC có 

AC=BD

CD chung

AD=BC

Do đó: ΔACD=ΔBDC

Suy ra: \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

hay \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)

Xét ΔODC có \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)

nên ΔODC cân tại O

Suy ra: OD=OC

Ta có: AO+OC=AC

OB+OD=BD

mà AC=BD

và OC=OD

nên OA=OB

Bài 2: 

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có 

AB=AC

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAHB=ΔAKC

Suy ra: AH=AK và HB=KC

Xét ΔABC có

\(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AH}{HC}\)

Do đó: KH//BC

Xét tứ gác BKHC có KH//BC

nên BKHC là hình thang

mà KC=BH

nên BKHC là hình thang cân

Bài 2: 

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có 

AB=AC

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAHB=ΔAKC

Suy ra: AH=AK

Xét ΔABC có 

\(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AH}{AC}\)

Do đó: HK//BC

Xét tứ giác BCHK có HK//BC

nên BCHK là hình thang

mà HB=KC(ΔAHB=ΔAKC)

nên BCHK là hình thang cân

Bài 3: 

Xét ΔACD và ΔBDC có 

AC=BD

CD chung

AD=BC

Do đó: ΔACD=ΔBDC

Suy ra: \(\widehat{ACD}=\widehat{BDC}\)

hay \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)

Xét ΔODC có \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}\)

nên ΔODC cân tại O

Suy ra: OD=OC

Ta có: AO+OC=AC

OB+OD=BD

mà AC=BD

và OC=OD

nên OA=OB

a) Xét ΔBAD và ΔABC có 

AB chung

\(\widehat{BAD}=\widehat{ABC}\)(gt)

AD=BC(gt)

Do đó: ΔBAD=ΔABC(c-g-c)

Suy ra: BD=AC(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔADC và ΔBCD có 

AD=BC(gt)

AC=BD(cmt)

DC chung

Do đó: ΔADC=ΔBCD(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\)(hai góc tương ứng)

Xét tứ giác ABCD có

\(\widehat{BAD}+\widehat{ABC}+\widehat{BCD}+\widehat{ADC}=360^0\)(Định lí tổng bốn góc trong một tứ giác)

\(\Leftrightarrow2\cdot\widehat{BAD}+2\cdot\widehat{ADC}=360^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180^0\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí trong cùng phía

nên AB//CD

Xét tứ giác ABCD có AB//CD(cmt)

nên ABCD là hình thang(Định nghĩa hình thang)

Hình thang ABCD(AB//CD) có AC=BD(cmt)

nên ABCD là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

Câu hỏi của headsot96 - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo!

a) Xét tứ giác ABHD có 

\(\widehat{BAD}=90^0\)

\(\widehat{ADH}=90^0\)

\(\widehat{BHD}=90^0\)

Do đó: ABHD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: AB=HD(ABHD là hình chữ nhật)

mà AB=5cm(gt)

nên HD=5cm

Ta có: DH+HC=DC(H nằm giữa D và C)

nên CH=DC-HD=8-5=3(cm)

Ta có: AD=BH(ABHD là hình chữ nhật)

mà AD=4cm(gt)

nên BH=4cm

Áp dụng định lí Pytago vào ΔBHC vuông tại H, ta được:

\(BC^2=BH^2+CH^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=4^2+3^2=25\)

hay BC=5(cm)