a: Ta có: \(-x^2+4x+5\)

\(=-\left(x^2-4x-5\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+4-9\right)\)

\(=-\left(x-2\right)^2+9\le9\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2

b: Ta có: \(-x^2-7x+4\)

\(=-\left(x^2+7x-4\right)\)

\(=-\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{7}{2}+\dfrac{49}{4}-\dfrac{65}{4}\right)\)

\(=-\left(x+\dfrac{7}{2}\right)^2+\dfrac{65}{4}\le\dfrac{65}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=-\dfrac{7}{2}\)

a) Vì \(\left(2x+\frac{1}{4}\right)^4\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow A\ge1\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2x+\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{8}\)

b) \(B=-\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{15}\right)^6+3\)

\(B=3-\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{15}\right)^6\)

Vì \(\left(\frac{4}{9}x-\frac{2}{15}\right)^6\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow B\le3\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{4}{9}x-\frac{2}{15}=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{10}\)

với mọi x thì (2x+1/4)⁴>=0 (lớn  hơn hoặc bằng )

A=(2x+1/4)⁴-1>=-1

để A đạt GTNN thì (2x+1/4)⁴=0

2x+1/4=0 =>x=-1/8

\(A=\left(x+3\right)\left(x-4\right)+7=x^2-x-5=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}-5\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{21}{4}\ge-\frac{21}{4}\)

"=" <=> x = 1/2

\(B=3-\left(x-1\right)\left(x-2\right)=3-\left(x^2-3x+2\right)\)

\(=3-\left(x-2.x.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+2\right)\)

\(=3+\frac{1}{4}-\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\le\frac{13}{4}\)

Xảy ra khi x = 3/2

Xét f(x) = \(x+\frac{4}{x}\) trên [1;3]

f'(x) = 1 - \(\frac{4}{x^2}\) 

f'(x) = 0 <=> 1  = \(\frac{4}{x^2}\) <=> x = 2 hoặc x = -2

BBT: 

Từ BBT => Max f(x) trên đoạn [1;3] = 5 khi x = 1

Từ giả thiết: \(x+y=4\Leftrightarrow x=4-y\)

Khi đó ta có: \(H=\sqrt{4-y+1}+\sqrt{y-2}\)

\(H=\sqrt{5-y}+\sqrt{y-2}\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki:

\(H^2=\left(\sqrt{5-y}+\sqrt{y-2}\right)^2\)

\(\le\left(1^2+1^2\right)\left(5-y+y-2\right)=6\)

\(\Leftrightarrow H\le\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(y=\dfrac{7}{2}\). Dựa vào điều kiện \(x+y=4\) suy ra được \(x=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(max_H=\sqrt{6}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)\)

Ta có :

\(H=\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}\)

\(\Leftrightarrow H^2=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}\right)^2\)

Theo BĐT Bu nhi a cốp xki ta có :

\(H^2=\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x+1+y-2\right)=6\)

\(\Leftrightarrow H\le\sqrt{6}\)

Dấu \("="\) xảy ra khi : \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=\sqrt{y-2}\\x+y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy GTLN của H là \(\sqrt{6}\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\) và \(y=\dfrac{7}{2}\)

Wish you study well !!!

\(A=\frac{x^2y^2}{x^2.xy+y^4}+\frac{x^2y^2}{x^4+xy.y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\left(\frac{x}{y}\right)^3+1}+\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2}{\frac{x}{y}.\left[\left(\frac{x}{y}\right)^3+1\right]}\)

\(=\frac{t^2}{t^3+1}+\frac{t^2}{t\left(t^3+1\right)}\text{ }\left(t=\frac{x}{y}>0\right)\)

\(=\left(\frac{t^2+t}{t^3+1}-1\right)+1=-\frac{\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)}{t^3+1}+1\le1\forall t>0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(t=1\Leftrightarrow x=y=1.\)

Vậy GTLN của A là 1.

Ở CHTT ko có

\(A=\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^4}}+\frac{1}{x^4+\frac{1}{x^2}}\)

Áp dụng BĐT côsi

\(x^2+\frac{1}{x^4}\ge\frac{2}{x}\)

\(x^4+\frac{1}{x^2}\ge2x\)

=>\(A\le\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\)

Áp dụng BĐT cosi

\(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\ge2\sqrt{\frac{x}{4x}}=1\)

Dấu = xảy ra <=>x=y=1

Chắc chắn 100% nha

Tick đi nào ae