\(P=\sqrt[]{x}+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}\left(x>1\right)\)

\(P=\sqrt[]{x}-1+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}+1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số \(\sqrt[]{x}-1;\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}\) ta được :

\(\sqrt[]{x}-1+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}\ge2\sqrt[]{\sqrt[]{x}-1.\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[]{x}-1+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}\ge2\sqrt[]{3}\)

\(\Rightarrow P=\sqrt[]{x}-1+\dfrac{3}{\sqrt[]{x}-1}+1\ge2\sqrt[]{3}+1\)

\(\Rightarrow Min\left(P\right)=2\sqrt[]{3}+1\)

sorry mn cho e sửa lại đề ạ

tìm gtln của p ạ

ĐKXĐ : \(x>0\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương \(\sqrt{x};\dfrac{4}{\sqrt{x}}\) ta có 

\(P=\sqrt{x}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{4}{\sqrt{x}}}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}=\dfrac{4}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=4\)

\(P=\sqrt[]{x}+\dfrac{4}{\sqrt[]{x}}\left(x>0\right)\)

\(P=\dfrac{x+4}{\sqrt[]{x}}=\dfrac{x+4}{\sqrt[]{x}}\)

Vì \(x>0;x+4>4\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{x+4}{\sqrt[]{x}}>4\)

⇒ Không có giá trị nhỏ nhất

\(P=\dfrac{x+5}{\sqrt[]{x}+2}=\dfrac{x-4+9}{\sqrt[]{x}+2}=\dfrac{\left(\sqrt[]{x}+2\right)\left(\sqrt[]{x}-2\right)+9}{\sqrt[]{x}+2}\)

\(=\left(\sqrt[]{x}-2\right)+\dfrac{9}{\sqrt[]{x}+2}=\left(\sqrt[]{x}+2\right)+\dfrac{9}{\sqrt[]{x}+2}-4\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số \(\left(\sqrt[]{x}+2\right);\dfrac{9}{\sqrt[]{x}+2}\left(x\ge0\right)\)

\(\left(\sqrt[]{x}+2\right)+\dfrac{9}{\sqrt[]{x}+2}\ge2\sqrt[]{\left(\sqrt[]{x}+2\right).\dfrac{9}{\sqrt[]{x}+2}}=2.3=6\)

\(\Rightarrow P=\left(\sqrt[]{x}+2\right)+\dfrac{9}{\sqrt[]{x}+2}-4\ge6-4=2\)

\(\Rightarrow P\ge2\Rightarrow Min\left(P\right)=2\)

Bạn xem lại đề có phải \(P=x+\dfrac{5}{\sqrt[]{x}+2}\) không?

ko ạ là x+5/căn x +2 

\(\left(\sqrt{75}+\sqrt{243}-\sqrt{48}\right):\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{75}:\sqrt{3}+\sqrt{243}:\sqrt{3}-\sqrt{48}:\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{75:3}+\sqrt{243:3}-\sqrt{48:3}\)

\(=\sqrt{25}+\sqrt{81}-\sqrt{16}\)

\(=5+9-4=10\)

Tham khảo thanh này để soạn đề chính xác hơn nha :vvv

a) Ta có: \(M=\left(\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}\right)\cdot\dfrac{x+3\sqrt{x}}{7-\sqrt{x}}\)

\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{7-\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{x-9-\left(x-2\sqrt{x}+\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{7-\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{x-9-x+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot\dfrac{1}{-\left(\sqrt{x}-7\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}-2}\cdot\dfrac{-1}{\sqrt{x}-7}\)

\(=\dfrac{-1}{\sqrt{x}-2}\)(1)

b) Ta có: \(x^2-4x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(nhận\right)\\x=4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Thay x=0 vào biểu thức (1), ta được:

\(M=\dfrac{-1}{\sqrt{0}-2}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}\)

Vậy: Khi \(x^2-4x=0\) thì \(M=\dfrac{1}{2}\)

b: Ta có: \(N=a^3+b^3+3ab\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+3ab\)

\(=1-3ab+3ab\)

=1

Bạn nên viết đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để được hỗ trợ tốt hơn.

\(=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+8\sqrt{3}-15\sqrt{3}=-6\sqrt{3}\)

Ta có: \(\sqrt{27}-2\sqrt{3}+2\sqrt{48}-3\sqrt{75}\)

\(=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+8\sqrt{3}-15\sqrt{3}\)

\(=-6\sqrt{3}\)

−6√3