chứng minh rằng nếu x- 1/x  là số nguyên và x khác 1 và -1 thì x và x +  1/x là số vô tỉ . Khi đó (x +  1/x)^2n và (x +  1/x)^2n+1  là số hữu tỉ hay số vô tỉ ?

Cho x và y là hai số khác 0 và thỏa mãn x+y khác 0. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{\left(x+y\right)^3}\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}\right)+\frac{3}{\left(x+y\right)^4}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)+\frac{6}{\left(x+y\right)^5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{x^3y^3}\)

 B1. CMR nếu n là số tự nhiên sao cho 2n+1 và 3n+1 đều là số chính phương thì n là bội của 40.

B2. Cho a,b,c là các số khác nhau và khác 0. Cmr nếu \(a.\left(y+z\right)=b.\left(z+x\right)=c.\left(x+y\right)\) thì \(\frac{y-z}{a.\left(b-c\right)}=\frac{z-x}{a.\left(b-c\right)}=\frac{x-y}{c.\left(a-b\right)}\)

GIÚP MÌNH NHA MAI MÌNH PHẢI NỘP RỒI

Cho x, y là các số hữu tỉ khác 0 và x + y khác 0. Chứng minh rằng biểu thức \(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)  viết được dưới dạng bình phương của một số hữu tỉ.

cho 3 số hữu tỉ x;y;z đôi một khác nhau. Chứng minh  \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{\left(z-x\right)^2}\)

là bình phương của 1 số hữu tỉ

Xét số thực \(x\) ≠ 0, \(\pm\)1 thỏa mãn \(x\) - \(\dfrac{1}{x}\) là số nguyên. Chứng minh rằng\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2023}\)là số vô tỉ.

Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, ta có bất đẳng thức:

\(\frac{x^n\left(x^{x+1}+1\right)}{x^n+1}\le\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2n+1}\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\) có đồ thị như ở Hình 7. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì \(f\left( x \right)\) dần tới giá trị nào.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì \(f\left( x \right)\) dần tới giá trị nào.