a) (E) có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) nên \(c = \sqrt 3\).

Phương trình chính tăc của (E) có dạng

\({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

Ta có: \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\)

\(\Rightarrow {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\ (1)\)

Và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3\)

Thay vào (1) ta được :

\(\eqalign{ & {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3) \cr}\)

\(\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)

Suy ra \({a^2} = 4\)

Ta có a = 2 ; b = 1.

Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0)

(0 ; -1) và (0 ; 1).

b) Phương trình chính tắc của (E) là :

\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

c) (E) có tiêu điểm thứ hai là điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\). Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm\(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và vuông góc với Ox có phương trình \(x = \sqrt 3\).

Phương trình tung độ giao điểm của \(\Delta\) và \((E)\) là :

\({3 \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \pm {1 \over 2}\)

Suy ra tọa độ của C và D là :

\(C\left( {\sqrt 3 ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;{1 \over 2}} \right)\)

Vậy CD = 1.

Gọi M(x,y) 

Trong (E) có : \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5}\)

Từ đó ta có : \(F_1\left(\sqrt{5};0\right);F_2\left(-\sqrt{5};0\right)\); \(F_1F_2=2\sqrt{5}\) 

=> \(\overrightarrow{F_1M}\left(x-\sqrt{5};y\right)\Rightarrow F_1M^2=\left(x-\sqrt{5}\right)^2+y^2\)

tương tự \(F_2M^2=\left(x+\sqrt{5}\right)^2+y^2\)

Do \(\widehat{F_1MF_2}=90^{\text{o}}\) nên tam giác F₁MF₂ vuông tại M

=> F₁M² + F₂M² = F₁F₂²

<=>  \(\left(x-\sqrt{5}\right)^2+y^2+\left(x+\sqrt{5}\right)^2+y^2=20\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2=5\)

Lại có \(M\in\left(E\right)\Rightarrow\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

từ đó ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=5\\\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=\dfrac{9}{5}\\y^2=\dfrac{16}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\\y=\pm\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\end{matrix}\right.\)

Do (E) giao với Ox tại \({A_1}\left( { - 5;0} \right)\) nên ta có: \(a = 5\)

Do (E) giao với Oy tại \({B_2}\left( {0;\sqrt {10} } \right)\) nên ta có: \(b = \sqrt {10} \)

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{10}} = 1\)

Từ phương trình chính tắc của (E) ta có: \(a = 7,b = 5 \Rightarrow c = 2\sqrt 6 {\rm{ }}(do{\rm{ }}{{\rm{c}}^2} + {b^2} = {a^2})\)

Vậy ta có tọa độ các giao điểm của (E) với trục Ox, Oy là: \({A_1}\left( { - 7;{\rm{ }}0} \right)\)\({A_2}\left( {7;{\rm{ }}0} \right)\)\({B_1}\left( {0; - {\rm{ 5}}} \right)\)\({B_2}\left( {0;{\rm{ 5}}} \right)\)

Hai tiêu điểm của (E) có tọa độ là: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 6 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 6 ;0} \right)\)

a, Phương trình chính tắc của (E) có dạng

\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) với 0<b<a

Ta có A(0;2) \(\in\left(E\right)\)<=>b=2

(E) có tiêu điểm F₁\(\left(-\sqrt{5};0\right)\) => c=\(\sqrt{5}\)

Ta có \(a^2=b^2+c^2=4+5=9\)=>a=3

==> (E) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)

b, 2a = 6; 2b = 4; 2c = \(2\sqrt{5}\)=>\(\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

c, S=4ab=24

Gọi pt chính tắc của elip cần tìm là \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\). Do (E) đi qua \(\left(2;2\sqrt{6}\right)\) nên \(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{24}{b^2}=1\). Đồng thời (E) đi qua \(N\left(4;-\sqrt{15}\right)\) nên \(\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{15}{b^2}=1\). Ta có hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{24}{b^2}=1\\\dfrac{16}{a^2}+\dfrac{15}{b^2}=1\end{matrix}\right.\) . (I)

Đặt \(\dfrac{1}{a^2}=u\) và \(\dfrac{1}{b^2}=v\) \(\left(u,v>0\right)\). Khi đó hệ (I) trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}4u+24v=1\\16u+15v=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u=\dfrac{1}{36}\\v=\dfrac{1}{27}\end{matrix}\right.\) (nhận) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{36}\\\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{27}\end{matrix}\right.\) 

Vậy pt chính tắc của elip cần tìm là \(\left(E\right):\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1\)

 Khi đó \(c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-27}=3\) nên tọa độ các tiêu điểm của *(E) là \(F_1\left(-3;0\right);F_2\left(3;0\right)\) . Tâm sai của (E) là \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\)