Câu hỏi của Sách Giáo Khoa

Question

Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có tiêu điểm thứ nhất là $\left(-\sqrt{3};0\right)$ và đi qua điểm $M\left(1;\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

a) Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E)

b) Viết phương t...

qwerty · Accepted Answer

a) (E) có tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)$  nên $c = \sqrt 3$.

Phương trình chính tăc của (E) có dạng

${{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1$

Ta có: $M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)$

$\Rightarrow {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\ (1)$

Và ${a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3$

Thay vào (1) ta được :

$\eqalign{
& {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \cr 
& \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3) \cr}$

$\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1$

Suy ra ${a^2} = 4$

Ta có a = 2 ; b = 1.

Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0)

(0 ; -1) và (0 ; 1).

b) Phương trình chính tắc của (E) là :

${{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1$

c) (E) có tiêu điểm thứ hai là điểm $\left( {\sqrt 3 ;0} \right)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm$\left( {\sqrt 3 ;0} \right)$ và vuông góc với Ox có phương trình $x = \sqrt 3$.

Phương trình tung độ giao điểm của $\Delta$ và $(E)$ là :

${3 \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} =  \pm {1 \over 2}$

Suy ra tọa độ của C và D là :

$C\left( {\sqrt 3 ; - {1 \over 2}} \right)$ và $\left( {\sqrt 3 ;{1 \over 2}} \right)$

Vậy CD = 1.Câu trả lời: a) (E) có tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)$  nên $c = \sqrt 3$.