Ta có: \(Q=\frac{12x+34}{x^2+2}\)

Đặt A=Q

=>\(12x+34=A\left(x^2+2\right)\)

=>\(A\cdot x^2+2A-12x-34=0\)

=>\(A\cdot x^2-12x+2A-34=0\) (1)

\(\Delta=\left(-12\right)^2-4A\left(2A-34\right)\)

\(=144-8A^2+136A=-8\left(A^2-17A-18\right)\)

\(=-8\left(A-18\right)\left(A+1\right)\)

Để (1) có nghiệm thì Δ>=0

=>-8(A-18)(A+1)>=0

=>(A-18)(A+1)<=0

=>-1<=A<=18

hay -1<=Q<=18

Do đó, ta có:

Giá trị lớn nhất của Q là 18 khi \(\frac{12x+34}{x^2+2}=18\)

=>\(18\left(x^2+2\right)=12x+34\)

=>\(9\cdot\left(x^2+2\right)=6x+17\)

=>\(9x^2+18-6x-17=0\)

=>\(9x^2-6x+1=0\)

=>\(\left(3x-1\right)^2=0\)

=>3x-1=0

=>\(x=\frac13\)

Giá trị nhỏ nhất của Q là -1 khi \(\frac{12x+34}{x^2+2}=-1\)

=>\(x^2+2=-12x-34\)

=>\(x^2+12x+36=0\)

=>\(\left(x+6\right)^2=0\)

=>x+6=0

=>x=-6

Bài này tìm được min thôi

Ta có: \(2x^2+x=2\left(x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}\right)-\frac{1}{8}=2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{8}\ge-\frac{1}{8}\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2=0\Rightarrow x=-\frac{1}{4}\)

Vậy Min = -1/8 khi x = -1/4

\(D=\dfrac{21}{\left|x-2\right|+3}\le\dfrac{21}{3}=7\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x=2

\(C=2x^2+y^2-2xy-2y+5\)

\(\Rightarrow2C=4x^2+2y^2-4xy-4y-10\)

\(2C=\left(2x\right)^2-2.2x.y+y^2+y^2-4y+4-14\)

\(2C=\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2-14\)

Với mọi x, y ta có:  \(\left(2x-y\right)^2\ge0;\left(y-2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow2C=\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2-14\ge-14\)

\(\Rightarrow C\ge\frac{-14}{2}=-7\)

Dấu bằng xảy ra khi:  \(\hept{\begin{cases}2x-y=0\\y-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=y\\y=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}2x=2\\y=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}}\)

Vậy x=1 ; y=2 thì min C = -7

HỌC TỐT <3

\(F=\sqrt{-3x^2-6x+2}\left(Đk:-1-\sqrt{\dfrac{5}{3}}\le x\le\sqrt{\dfrac{5}{3}}-1\right)\)

\(=\sqrt{-\left(3x^2+6x+3\right)+5}\)

\(=\sqrt{-3\left(x+1\right)^2+5}\)

Vì \(-\left(x+1\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow F\le\sqrt{5}\)

\(MaxF=\sqrt{5}\Leftrightarrow x=-1\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\\\left|y-5\right|\ge0\forall y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2+\left|y-5\right|\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow10+\left(x-3\right)^2+\left|y-5\right|\ge10\forall x,y\)

\(\Rightarrow D=-10-\left(x-3\right)^2-\left|y-5\right|\le-10\forall x,y\)

Dấu \("="\) xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x-3=0\\y-5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=5\end{matrix}\right.\)

Vậy \(Max_D=-10\) khi \(x=3;y=5\).

\(A=\left|x-3\right|+\left|5-x\right|+\left|x+2\right|-4\ge\left|x-3\right|+\left|5-x+x+2\right|-4\)

\(A\ge\left|x-3\right|+3\ge3\)

\(A_{min}=3\) khi \(x=3\)

Với mọi a;b ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)

Áp dụng:

\(A=\left(x+3\right)^4+\left(7-x\right)^4\ge\dfrac{1}{2}\left[\left(x+3\right)^2+\left(7-x\right)^2\right]^2\)

Tiếp tục áp dụng BĐT ban đầu trong 2 số hạng trong ngoặc vuông:

\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2}\left(x+3+7-x\right)^2\right]^2=1250\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+3=7-x\Rightarrow x=2\)

Vậy \(A_{min}=1250\) khi \(x=2\)

Không tồn tại A max