Biến đổi vế trái:

a + b + c 3 = a + + c 3  = a + b 3 +3 a + b 2  c+3(a+b) c 2 + c 3

      =  a 3  + 3 a 2 b + 3a b 2  +  b 3  + 3( a 2 + 2ab +  b 2 )c + 3a c 2  + 3b c 2  +  c 3

      =  a 3  + 3 a 2 b + 3a b 2  +  b 3  + 3 a 2 c + 6abc + 3 b 2 c + 3a c 2  + 3b c 2 + c3

      =  a 3 +  b 3  +  c 3  + 3 a 2 b + 3a b 2 + 3 a 2 c + 6abc + 3 b 2 c + 3a c 2  + 3b c 2

      =  a 3  +  b 3  +  c 3  + (3 a 2 b + 3a b 2 ) +( 3 a 2 c + 3abc)+ (3abc + 3 b 2 c)+(3a c 2  + 3b c 2 )

      =  a 3  +  b 3  +  c 3  + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + b) + 3 c 2 (a + b)

      =  a 3  +  b 3  +  c 3 + 3(a + b)(ab + ac + bc +  c 2 )

      =  a 3  +  b 3  +  c 3  + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]

      =  a 3  +  b 3  +  c 3  + 3(a + b)(b + c)(a + c) (đpcm)

a: \(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-4a\ge0\)

hay \(\left(a-1\right)^2>=0\)(luôn đúng)

b: \(VT=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\)

\(=a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)=VP\)

ấn vào ô báo cáo

Tối quá, ko thấy bài đâu 

HT

\(a,VT=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)

\(VP=\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\)

\(\Rightarrow VT=a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2=VP\left(đpcm\right)\)

b, Tham khảo:Chứng minh hằng đẳng thức:(a+b+c)3= a3 + b3 + c3 + 3(a+b)(b+c)(c+a) - Hoc24

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc

=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+c^3-(3a^2b+3ab^2+3abc)

=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-bc-ac)

=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

Thay a + b + c = 0, ta có:

0(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)

=0

Vậy nếu a + b + c = 0 thì a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0

Theo bài ra, ta có: a+b+c
Suy ra: 3(a+b+c)-3abc=0
Suy ra: -3abc=0
Tương đương: -3*(b+c)*(a+c)*(a+b)=0
Tương đương: -3* a^2+b^2+c^2=0
Tương đương: -3*0=0
Suy ra: nếu a+b+c=0 thì a3+b3+c3-3abc=0(đpcm)

#)Giải :

Ta có : \(\left(a+b+c\right)^3\)

\(=\left(\left(a+b\right)+c\right)^3\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3+3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)\)

\(=a^3+b^3+3\left(a+b\right)\left(ab+c\left(a+b+c\right)\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

Hay chính là \(a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

ta có:

VT=(a+b+c)^3=[(a+b)+c]^3

                  =(a+b)^3+c^3+3(a+b)c(a+b+c)

                 =a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3c(a+b+c)(a+b)

                 =a^3+b^3+c^3+3(a+b)(ab+ac+cb+c^2)

                 =a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)

=>VT=VP( đpcm)

bài này hình như có điều kiện \(a,b,c\ge1\)

Bài toán phụ \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)(bạn tự chứng minh nhé biến đổi tương đương là thấy mà)

Ta có: \(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\ge\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{a^4b^4c^4}}=\frac{4}{1+abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\)(đpcm)

\( \dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} + \dfrac{1}{{abc}} \ge \dfrac{4}{{1 + abc}} \)

Ta có:

\(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} + \dfrac{1}{{1 + abc}} \ge \dfrac{2}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}} }} + \dfrac{2}{{1 + \sqrt {ab{c^4}} }} \ge \dfrac{4}{{1 + \sqrt {{a^3}{b^3}\sqrt {ab{c^4}} } }} = \dfrac{4}{{1 + abc}}\)

Suy ra: \(\dfrac{1}{{1 + {a^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {b^3}}} + \dfrac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \dfrac{3}{{1 + abc}}\)

Vậy BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Anh đã chỉnh câu hỏi của em dưới dạng công thức. Những lần sau đặt câu hỏi nhớ ghi dưới dạng công thức cho dễ nhìn, dễ hiểu để các bạn hỗ trợ em nhé! Chúc em học tốt cùng hoc24.

Lời giải:

$a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$

Ta có:
$a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=(-c)^3+3abc+c^3=3abc$ chứ không phải bằng $0$ nhé.