Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

$a+2b=\frac{a+b}{2}+\frac{a+b}{2}+b\geq 3\sqrt[3]{\frac{b(a+b)^2}{4}}$

$\Rightarrow 4(a+2b)^3\geq 4.[3\sqrt[3]{\frac{(a+b)^2b}{4}}]^3$

$=27b(a+b)^2$ (đpcm)

(a-b)(b-c)(c-a) = (a+b)(b+c)(c+a)                                                                 <=>  \(-b^2c-ac^2+bc^2-a^2b+ab^2+a^2c\) = \(2abc+a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b\)

<=> 2\(\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)=0\)

<=> \(a^2b+b^2c+c^2a+abc=0\)

Cho (a-b)(b-c)(c-a) = (a+b)(b+c)(c+a) .Chứng minh a^2b + b^2c+ c^2a+ abc=0 - H

Ta có:\(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)-\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2c-ac^2+bc^2-b^2c+ab^2-a^2b\right)-\left(2abc+ac^2+a^2c+b^2c+bc^2+a^2b+ab^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2c-ac^2+bc^2-b^2c+ab^2-a^2b-2abc-ac^2-a^2c-b^2c-bc^2-a^2b-ab^2=0\)

\(\Leftrightarrow-2a^2b-2b^2c-2ac^2-2abc=0\)

\(\Leftrightarrow-2\left(a^2b+b^2c+c^2a+abc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a+abc=0\left(đpcm\right)\)

Thế này phải ko? 

\(\left(a+b\right)^2.\frac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}\)

 ta có: a−√a+14 =(√a−12 )2≥0    (1)

         b−√b+14 =(√b−12 )2≥0(2)

từ (1),(2)=.>a+b−√a−√b+12 ≥0

⇒a+b+12 ≥√a+√b   (3)

Mà  a+b≥2√ab   (BĐT cauchy cho a>0;b>0)    (4)

từ(3),(4) => (a+b)(a+b+12 )≥2√ab(√a+√b)

⇔(a+b)2+a+b2 ≥2a√b+2b√a

=>đpcm

Dấu nhân á