c=c.1 thay 1 bằng a+b+c xong cô si

\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

hay \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge0\) .Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=0\)

Suy ra \(ab+bc+ca=-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\le-\dfrac{0}{2}=0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2=0\Leftrightarrow a=b=c=0\)

Ta có: a + b + c = 0.

=> a = - b - c

b = -a - c

c = - a- b.

Nên ta có:

ab + bc + ca = (-b-c)b + (-a-c)c + (-a-b)a

= -b^2 - bc - ca  -c^2 - a^2 - ab

= -( a^2 + b^2 + c^2)- (ab + bc + ca)

=> 2(ab + bc + ca) = -(a^2 + b^2 +c^2)

Mà -(a^2 + b^2 + c^2) bé hơn hoặc bằng 0 (do a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 0)

=> 2(ab + bc + ca ) bé hơn hoặc bằng 0.

=> ab + bc + ca bé hơn hoặc bằng 0.

Vậy ab + bc + ca bé hơn hoặc bằng 0.

Ta có:

\(\Rightarrow a\left(a+b+c\right)=b\left(a+b+c\right)=c\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Rightarrow a^2+ab+ac=ab+b^2+bc=ca+cb+c^2=0\)

\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)+\left(a^2+b^2+c^2\right)=0\)

Do \(a^2+b^2+c^2\ge0\Rightarrow ab+bc+ca\le0^{đpcm}\)

Áp dụng bđt Cauchy: \(3\cdot\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le0\)

Ta cần chứng minh

\(a+b+c\ge ab+bc+ca\)

do \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

đặt \(a=\dfrac{2y}{x+z};b=\dfrac{2z}{y+x};c=\dfrac{2x}{z+y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{x}{y+z}\ge2\left(\dfrac{xy}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{yz}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)\)

dấu ''='' khi \(a=b=c=1\) hoặc \(a=b=2,c=1\)

Ta có : 

\(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2=0^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2+\left(2ab+2bc+2ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=-\left(2ab+2bc+2ac\right)\)

Vì \(a^2+b^2+c^2\ge0\)

Nên \(-\left(2ab+2bc+2ac\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\)\(2ab+2bc+2ac\le0\) 

\(\Rightarrow\)\(2\left(ab+bc+ac\right)\le0\)

\(\Rightarrow\)\(ab+bc+ac\le0\) ( đpcm ) 

Công thức lớp 8 chứ ko phải lớp 6 nhé 

Chúc bạn học tốt ~ 

cm bđt ab+bc+ca \(\le\)\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(biến đổi tương đương )

\(\Rightarrow\)ab+bc+ca \(\le\frac{0^2}{3}=0\)-đpcm

Giảichi tiết gúp mk

Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).Vậy điều giả sử trên là sai, 
a,b,c là 3 số dương.

Giả sử a<0,vì abc>0 nên bc<0.Mặt khác thì ab+ac+bc>0<=>a(b+c)>-bc>0=>a(b+c)>0,mà a<0 nên b+c<0=>a+b+c<0(vô lý).

Vậy điều giả sử trên là sai, 
Do đó a,b,c là 3 số dương.