a) MP // AC => ^MPB=^CAB; ^PMB=^ACB. Mà ^CAB=^ACB=60⁰

=> ^MPB=^PMB=60⁰ => Tam giác BPM là tam giác đều (đpcm).

b) Tam giác BPM là tam giác đều (cmt) => PM=BP

Ta có: PM//AN; M//AP => PM=AN (Tính chất đoạn chắn)

=> BP=AN.

Tam giác ABC đều và O là trọng tâm nên ta có: ^OBA=^OAC=30⁰ hay ^OBP=^OAN và OB=OA

Xét tam giác OAN và tam giác OBP: BP=AN; OA=OB; ^OAN=^OBP 

=> Tam giác OAN= Tam giác OBP (đpcm)

c) Tam giác AIP=Tam giác MIN (g.c.g) => IP=IN hay I là trung điểm của NP

Tam giác OAN=Tam giác OBP (cmt) => ON=OP => O nằm trên trung trực của NP (1)

HP=HN => H nằm trên trung trực của NP (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với I là trung điểm của NP => H;I;O thẳng hàng (đpcm).

Kurokawa Neko cho mk hỏi tc đoạn chắn là kí gì zậy

1: Xét tứ giác BDEF có 

BD//EF

DE//BF

Do đó: BDEFlà hình bình hành

Suy ra: BD=EF

2: Xét ΔADE và ΔEFC có 

\(\widehat{ADE}=\widehat{EFC}\)

AD=FE

\(\widehat{A}=\widehat{FEC}\)

Do đó: ΔADE=ΔEFC

3: Ta có: BDEF là hình bình hành

nên Hai đường chéo BE và DF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

=>B,M,E thẳng hàng

a)Nối K với M .

Xét △BMK và △IMK có:

-MK:cạnh chung.

-^BKM=^IMK( 2 góc so le trong của IM // BC)

-^BMK=^MKI( 2 góc so le trong của AB // IK)

⇒ △BMK = △IMK (g.c.g)

⇒ BM=IK(cctư)

mà AM=BM(M là trung điểm của AB)

⇒AM=IK(ĐPCM).

b) Có ^AMI=^MIK( 2 góc so le trong của AB // IK).

Mà ^MIK=^IKC(2 góc so le trong của MI // BC).

⇒ ^AMI = ^IKC (1).

Xét △AMI và △IKC có:

-^AMI = ^IKC (chứng minh (1)).

-AM=IK(chứng minh câu a)).

-^MAI=^KIC( 2 góc đồng vị của AB // IK).

⇒△AMI=△IKC(g.c.g)(ĐPCM).

c)Từ câu b) , △AMI=△IKC.Suy ra: AI=IC (cctư).

a: Xét ΔDEC vuông tạiD và ΔABC vuông tại A có

góc C chung

Do đó: ΔDEC\(\sim\)ΔABC

Suy ra: CD/CA=CE/CB

hay CD/CE=CA/CB

b: Xét ΔADC và ΔBEC có

CA/CB=CD/CE

góc DCA chung

Do đo: ΔADC\(\sim\)ΔBEC

c: \(S_{ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}\)

nên \(AB\cdot AC=AH\cdot BC\)