a) Xét tứ giác AKHP có 

\(\widehat{PAK}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)

\(\widehat{AKH}=90^0\left(HK\perp AB\right)\)

\(\widehat{APH}=90^0\left(HP\perp AC\right)\)

Do đó: AKHP là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

a, Xét Δ ABC, có :

\(AB^2+AC^2=BC^2\) (định lí Py - ta - go)

=> \(3^2+4^2=BC^2\)

=> \(25=BC^2\)

=> BC = 5 (cm)

Xét Δ ABC vuông tại A, theo hệ thức lượng có :

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

=> \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}\)

=> AH = 2,4 cm

b, Xét Δ ABD, có :

HD = HB (gt)

AH là đường cao

=> Δ ABD cân

lol

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100\)

=>\(BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)

=>\(\dfrac{AD}{6}=\dfrac{CD}{10}\)

=>\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}\)

mà AD+CD=AC=8

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{AD+CD}{3+5}=\dfrac{8}{8}=1\)

=>\(AD=3\cdot1=3\left(cm\right);DC=5\cdot1=5\left(cm\right)\)

b: Xét ΔBAH có BI là phân giác

nên \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}\left(1\right)\)

Xét ΔABC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BA}{BC}\left(2\right)\)

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có

góc ABH chung

Do đó: ΔBHA~ΔBAC

=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AD}{DC}\)

c: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHI vuông tại H có

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBI}\)

Do đó: ΔBAD~ΔBHI

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BD}{BI}\)

=>\(BA\cdot BI=BD\cdot BH\)

Ta có: ΔBAD~ΔBHI

=>\(\widehat{BDA}=\widehat{BIH}\)

mà \(\widehat{BIH}=\widehat{AID}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{ADI}=\widehat{AID}\)

=>ΔAID cân tại A

b) Xét ΔABH có BI là đường phân giác ứng với cạnh AH(Gt)

nên \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{BH}{BA}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)(1)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{DC}=\dfrac{BA}{BC}\)(Tính chất đường phân giác của tam giác)(2)

Xét ΔABH vuông tại H và ΔCBA vuông tại A có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔABH∼ΔCBA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AB}{CB}=\dfrac{BH}{BA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AD}{DC}\)(đpcm)

a: \(AH=\sqrt{2\cdot4}=2\sqrt{2}\left(cm\right)\)

\(AB=\sqrt{AH^2+HB^2}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

a: BC=căn 6^2+8^2=10cm

Xét ΔBAC có BD là phân giác

nên AD/BA=CD/BC

=>AD/3=CD/5=(AD+CD)/(3+5)=8/8=1

=>AD=3cm; CD=5cm

b:

Sửa đề: AD*BI=BD*HI

Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHI vuông tại H có

góc ABD=góc HBI

=>ΔBAD đồng dạng với ΔBHI

=>BA/BH=BD/BI=AD/HI

=>BI*AD=BD*HI

3:

a: AE/AD=9/6=3/2

AD/AC=6/12=1/2

b: Xét ΔADE và ΔABC có

AD/AB=AE/AC

góc A chung

=>ΔADE đồng dạng vơi ΔABC

c: IB/IC=AB/AC=AD/AE

=>IB*AE=IC*AD

-Tham khảo:

https://hoc24.vn/cau-hoi/.4916932418792

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có

AB=AC

AH chung

=>ΔAHB=ΔAHC

b: AB=căn 4^2+3^2=5cm

c: Xét ΔABC có

H là trung điểm của BC

HM//AC

=>M là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

CM,AH là trung tuyến

CM cắt AH tại G

=>G là trọng tâm