Ta có: \(43^{43}=\left(43^4\right)^{10}.43^3=\left(...01\right)^{10}.43^3=\left(...1\right).79507=\left(...7\right)\\ \)

    \(17^{17}=\left(17^4\right)^4.17=\left(...01\right)^4.17=\left(...1\right).17=\left(...7\right)\)

\(\Rightarrow43^{43}-17^{17}=\left(...7\right)-\left(...7\right)=\left(...0\right)⋮10\)

ta có : 
43^1 =43. tận cùng là số 3 
43^2= 1849 tận cùng là số 9 
43^3 =79507 tận cùng là số 7 
43^4 =3418801 tận cùng là số 1 
43^5 = 147008443 tiếp tục tận cùng là số 3 
vậy quy luật của nó cứ lặp đi lặp lại theo dãy 4 số 3 - 9 - 7 - 1 
ta có 43 chia 4 dư 3. vậy tận cùng của số 43^43 là 7 
tương tự ta có số tận cùng của 17^17 là 7. 
vậy thì 43^43 - 17^17 ra số có tận cùng là 0. mà số có tận cùng là 0 thì luôn chia hết cho 10 (điều phải chứng minh)

43^1 =43. tận cùng là số 3 
43^2= 1849 tận cùng là số 9 
43^3 =79507 tận cùng là số 7 
43^4 =3418801 tận cùng là số 1 
43^5 = 147008443 tiếp tục tận cùng là số 3 
vậy quy luật của nó cứ lặp đi lặp lại theo dãy 4 số 3 - 9 - 7 - 1 
ta có 43 chia 4 dư 3. vậy tận cùng của số 43^43 là 7 
tương tự ta có số tận cùng của 17^17 là 7. 
vậy thì 43^43 - 17^17 ra số có tận cùng là 0. mà số có tận cùng là 0 thì luôn chia hết cho 10 (điều phải chứng minh)

Ta có:

43⁴ đồng dư với 1(mod 10)

=>(43⁴)¹⁰ đồng dư với 1¹⁰(mod 10)

=>43⁴⁰ đồng dư với 1(mod 10)

=>43⁴⁰.43³ đồng dư với  1.43³(mod 10)

=>43⁴³ đồng dư với 43³(mod 10)

mà 43³ đồng dư với 7(mod 10)

=>43⁴³ đồng dư với 7(mod 10)

=>43⁴³:10(dư 7)(1)

Lại có:

17² đồng dư với 9(mod 10)

=>17² đồng dư với -1(mod 10)

=>(17²)⁸ đồng dư với (-1)⁸(mod 10)

=>17¹⁶ đồng dư với 1(mod 10)

=>17¹⁶.17 đồng dư với 1.17(mod 10)

=>17¹⁷ đồng dư với 17(mod 10)

mà 17 đồng dư với 7(mod 10)

=>17¹⁷ đồng dư với 7(mod 10)

=>17¹⁷:10(dư 7)(2)

Từ (1) và (2) ta có:

43⁴³-17¹⁷:10(dư 0)

=>ĐPCM

Ta có : 10ⁿ có tổng các chữ số bằng 1 (\(\forall n\in N\)) (1)

5³ = 125 (tổng các chữ số bằng 8) (2)
Từ (1),(2) => 10ⁿ + 5³ có tổng các chữ số bằng 9 \(⋮9\)
@Hưng Nguyễn

a, Đặt A = 10ⁿ + 5³

=> A = 1000......0(có n số 0) + 125

=> Tổng các chữ số của A là 1 + 0 + 0 + 0 + ....+ 1 + 2 +5 = 9

Mà 9 chia hết cho 9

=> A chia hết cho 9

a ) Đặt B = 10^n + 5^3

= 10^n + 125

Tổng các chữ số của B là 1 + 1 + 2 + 5 = 9

Mà 9 chia hết cho 9

=> B chia hết cho 9

b ) 43^43 - 17^17 chia hết cho 10

Có 43^1 = 43

43^5 = ....3

43^9 = ....3

...

Ta thấy các mũ số cứ cách nhau 4 đơn vị . Mà ( 43 - 1 ) : 4 = 10 ( dư 2 ) nên tận cùng của 43^43 là 3 . 3 . 3 = 27

=> 43^43 có tận cùng là 7

Tương tự với 17^17 ta có kết quả là 7

Vì 7 - 7 = 0 nên 43^43 - 17^17 chia hết cho 10 ( do số có tận cùng là 0 thì chia hết cho 10 )

Bài 7 :43^1 =43. tận cùng là số 3 

43^2= 1849 tận cùng là số 9 

43^3 =79507 tận cùng là số 7 

43^4 =3418801 tận cùng là số 1 

43^5 = 147008443 tiếp tục tận cùng là số 3 

vậy quy luật của nó cứ lặp đi lặp lại theo dãy 4 số 3 - 9 - 7 - 1 

ta có 43 chia 4 dư 3. vậy tận cùng của số 43^43 là 7 

tương tự ta có số tận cùng của 17^17 là 7. 

vậy thì 43^43 - 17^17 ra số có tận cùng là 0. mà số có tận cùng là 0 thì luôn chia hết cho 10 (điều phải chứng minh)

Bài 8 : \(7^{1000}=\left(7^2\right)^{500}=49^{500}\)

\(3^{1000}=\left(3^2\right)^{500}=9^{500}\)

Ta có : lũy thừa tận cùng là 9 khi nâng bậc lũy thừa chẵn nên tận cùng là 1.

=> \(49^{500}\) tận cùng là 1

=> \(9^{500}\) tận cùng là 1

=> (...1) - (....1) = (....0)

Vì tận cùng là 0 nên chia hết cho 10 

Vậy  7¹⁰⁰⁰ - 3¹⁰⁰⁰ chia hết cho 10 (đpcm)

Câu 8 thiếu số 0

Bài 7 :43^1 =43. tận cùng là số 3

43^2= 1849 tận cùng là số 9

43^3 =79507 tận cùng là số 7

43^4 =3418801 tận cùng là số 1

43^5 = 147008443 tiếp tục tận cùng là số 3

vậy quy luật của nó cứ lặp đi lặp lại theo dãy 4 số 3 - 9 - 7 - 1

ta có 43 chia 4 dư 3. vậy tận cùng của số 43^43 là 7

tương tự ta có số tận cùng của 17^17 là 7.

vậy thì 43^43 - 17^17 ra số có tận cùng là 0. mà số có tận cùng là 0 thì luôn chia hết cho 10 (điều phải chứng minh)

Bài 8 :

Ta có : lũy thừa tận cùng là 9 khi nâng bậc lũy thừa chẵn nên tận cùng là 1.

=> tận cùng là 1

=> tận cùng là 1

=> (...1) - (....1) = (....0)

Vì tận cùng là 0 nên chia hết cho 10

Vậy 71000 - 31000 chia hết cho 10 (đpcm)

Ta thấy:43 đồng dư với 3(mod 10)

=>43² đồng dư với 3²(mod 10

=>43² đồng dư với 9(mod 10)

=>43² đồng dư với -1(mod 10)

=>(43²)²¹ đồng dư với (-1)²¹(mod 10)

=>43⁴² đồng dư với -1(mod 10)

=>43⁴² đồng dư với 9(mod 10)

=>43⁴².43 đồng dư với 9.43(mod 10)

=>43⁴³ đồng dư với 7(mod 10)

            17 đồng dư với 7(mod 10)

=>17² đồng dư với 7²(mod 10)

=>17² đồng dư với 9(mod 10)

=>17² đồng dư với -1(mod 10)

=>(17²)⁸ đồng dư với (-1)⁸(mod 10)

=>17¹⁶ đồng dư với 1(mod 10)

=>17¹⁶.17 đồng dư với 1.17(mod 10)

=>17¹⁷ đồng dư với 7(mod 10)

      =>49⁴⁹-17¹⁷ đồng dư với 7-7(mod 10)

      =>49⁴⁹-17¹⁷ đồng dư với 0(mod 10)

=>49⁴⁹-17¹⁷ chia hết cho 10

=>ĐPCM

Áp dụng tính chất:

(....3)⁴ⁿ = (....1)  và (....7)⁴ⁿ = (....1)   . kí hiệu (...3) là số có tận cùng là chữ số 3

Ta có: 43⁴³ = 43⁴⁰ .43³ = (....1).(...7) = (....7)

17¹⁷ = 17¹⁶. 17 = (....1).17 = (...7)

=> 43⁴³ - 17¹⁷ = (.....0) chia hết cho 10

vậy...

Số có tận cùng là 3 khi nâng lên lũy thừa mũ 4n có tận cùng là 1

Do đó 43⁴³ = 43^4.10+3=43^4.10.43³= ( .....1 ) . ( ......7 ) = .....7

số có tận cùng là 7 khi nâng lên lúy thùa mũ 4n có tận cũng là 1

Do đó 17¹⁷=17^4.4+1 = 17^4.4.17= ( ....... 1 ) . ( ........7 ) = .......7

43⁴³-17¹⁷ = ......7 - .......7 = ........0 

Số có tận cùng là 0 chia hết cho 10

Vậy 43⁴³-17¹⁷ chia hết cho 10 ( dpcm )

Gõ link này là có: http://olm.vn/hoi-dap/question/1081594.html

CM:\(\overline{ab}+\overline{ba}⋮11\)

Ta có :\(\overline{ab}=10a+b\)

\(\overline{ba}=10b+a\)

\(\Rightarrow\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11a+11b\)

Mà 11b\(⋮\) 11 kí hiệu là 1

11a \(⋮\) 11 kí hiệu là 2

Từ 1 và 2 \(\Rightarrow\) 10a+b+10b+a chia hết cho 11 (t/chất chia hết của 1 tổng)

\(\Rightarrow\overline{ab}+\overline{ba}⋮11\)