3.1 

Xét hiệu :

\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)

Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)

3.2

Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)

nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )

Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)

Em ko chắc đâu nhé!

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\)

Với a > b > 1 thì:

\(VT-VP=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}+\left(a-1\right)\left(b-1\right)>0\)

Nếu a > 1; b < 1 thì chưa nghĩ ra:v

Với \(0< b\le a\le1\) thì:

 \(VT-VP=\frac{1}{2}\left(a-1\right)^2+\frac{1}{2}\left(b-1\right)^2+\left(a-b\right)^2\left(\frac{1}{ab}-\frac{1}{2}\right)\ge0\)

Ta có đpcm.

\(\dfrac{a^2+bc}{b+c}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)-a\left(b+c\right)}{b+c}=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}-a\)

\(\Rightarrow VT=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}-\left(a+b+c\right)\)

Mặt khác áp dụng \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge a+b+b+c+a+c=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow VT\ge2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=a+b+c\) (đpcm)

`a) 2 ( a^2 + b^2 ) >= ( a + b )^2`

`<=> 2a^2 + 2b^2 >= a^2 + 2ab + b^2`

`<=> a^2 - 2ab + b^2 >= 0`

`<=> ( a - b )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b`)

     `=>` Đẳng thức được c/m

_________________________________________

`b) a^2 + b^2 + c^2 >= ab + bc + ca`

`<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 >= 2ab + 2bc + 2ca`

`<=> ( a^2 - 2ab + b^2 ) + ( b^2 - 2bc + c^2 ) + ( c^2 - 2ca + a^2 ) >= 0`

`<=> ( a - b )^2 + ( b - c )^2 + ( c - a )^2 >= 0` (Luôn đúng `AA a,b,c`)

         `=>` Đẳng thức được c/m

\(a+b=\frac{a+b}{2}+\frac{a+b}{2}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2}+\frac{1}{2}.\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{ab}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\)

+TH1: \(ab< 1\) thì \(VP< 0\le VT\), bđt thỏa mãn

+TH2: \(ab\ge1\)

Có: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\left(a+b\right).\frac{a+b}{2}\ge\left(a+b\right).\frac{2\sqrt{ab}}{2}\ge a+b\)

Và \(\left(ab-1\right)^2\ge0\Rightarrow a^2b^2\ge2ab-1\ge ab-1\ge0\)

\(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2b^2\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-1\right)\ge\left(a+b\right)\left(ab-1\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}ab=1\\ab=0\end{cases}}\), điều này ko xảy ra nên bđt ko xảy ra dấu bằng

Vậy \(a^2b^2\left(a^2+b^2\right)>\left(a+b\right)\left(ab-1\right)\)

B trước nhé:

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số thực dương a^2 và b^2; b^2 và c^2 ; c^2 và a^2 ta được:

a^2 + b^2\(\ge\)2ab

Tương tự b^2 + c^2\(\ge\)2bc

Cx có c^2+a^2\(\ge\)2ac

=> 2(a^2+b^2+c^2)\(\ge\)2(ab + bc +ca)

=>a^2 + b^2 +c^2\(\ge\)ab+bc+ca

1) a² - ab + b² ≥ 0

<=> ( 4a² - 4ab + b² ) + 3b² ≥ 0

<=> ( 2a - b )² + 3b² ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 0

2) a² - ab + b² ≥ 1/4( a + b )²

<=> 4a² - 4ab + 4b² ≥ a² + 2ab + b²

<=> 4a² - 4ab + 4b - a² - 2ab - b² ≥ 0

<=> 3a² - 6ab + 3b² ≥ 0

<=> a² - 2ab + b² ≥ 0

<=> ( a - b )² ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đẳng thức xảy ra <=> a = b