Theo đề bài ta có:

\(2\left(y^2+1\right)+6\ge\left(x^4+1\right)+\left(y^4+4\right)+\left(z^4+1\right)\ge2x^2+4y^2+2z^2\)

\(\Rightarrow0< x^2+y^2+z^2\le4\)

Đặt: \(t=x^2+y^2+z^2.Đkxđ:0< t\le4\)

Ta có: \(\sqrt{2}\left(x+y\right)y=\sqrt{2x}y+\sqrt{2z}y\le\frac{2x^2+y^2}{2}+\frac{2z^2+y^2}{2}=x^2+y^2+z^2\)

\(P\le x^2+y^2+z^2+\frac{1}{x^2+y^2+z^2+1}=t+\frac{1}{t+1}=f\left(t\right)\)

Xét hàm: \(f\left(t\right)=t+\frac{1}{t+1}\) liên tục trên \(\left(0;4\right)\) 

\(f'\left(t\right)=1-\frac{1}{\left(t+1\right)^2}>0\forall t\in\left\{0;4\right\}\)nên:

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến trên \(\left\{0;4\right\}\)

\(\Rightarrow P\le f\left(t\right)\le f\left(4\right)=\frac{21}{5}\forall t\in\left(0;4\right)\)

\(\Rightarrow P_{Min}=\frac{21}{5}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=z=1\\y=\sqrt{2}\end{cases}}\)

Vậy ....................

ミ★๖ۣۜBăηɠ ๖ۣۜBăηɠ ★彡

có cách nào không dùng hàm k ???

Hmmm h thì mình chưa ra nhưng bạn muốn theo cách gì để mình tìm?

https://olm.vn/hoi-dap/detail/221163930084.html

cậu tìm link này nhé . mình đã trả lời câu này cho 1 bạn r . 

học giỏi

6.6..6 - 6=?

đặt \(a=x^2,b=y^2\left(a,b\ge0\right)\)thì \(P=\frac{\left(a-b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}\)

Zì \(a,b\ge0\)nên

\(\left(a-b\right)\left(1-ab\right)=a-a^2b-b+ab^2\le a+ab^2=a\left(1+b^2\right)\le a\left(1+2b+b^2\right)=a\left(1+b\right)^2\)

Lại có \(\left(1+a\right)^2=\left(1-a\right)^2+4a\ge4a\)

=>\(P\le\frac{a\left(1+b\right)^2}{4a\left(1+b\right)^2}=\frac{1}{4}\)

dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi\(\hept{\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}=>\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}}}\)

zậy \(maxP=\frac{1}{4}khi\hept{\begin{cases}x=\pm1\\y=0\end{cases}}\)

\(A=\sqrt{\left(1.x+\dfrac{1}{2}.2y\right)^2}\le\sqrt{\left(1+\dfrac{1}{4}\right)\left(x^2+4y^2\right)}=5\)

\(A_{max}=5\) khi \(\left(x;y\right)=\left(4;1\right);\left(-4;-1\right)\)

Làm phần min trước, Max để mai:

Ta chứng minh \(P\ge\frac{18}{25}\).

*Nếu x = 0 thì \(y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow P=\frac{7}{4}>\frac{18}{25}\)

*Nếu x khác 0. Xét hiệu hai vế ta thu được:

\(\ge0\)

P/s: Nên rút gọn cái biểu thức cuối cùng lại cho nó đẹp và khi đó ta không cần xét 2 trường hợp như trên:D

Cách khác đơn giản hơn:

Đặt \(x+y=a;xy=b\Rightarrow a^2\ge4b\)

\(\Rightarrow2a^2-1=5b\) rồi rút thế các kiểu cho nó thành 1 biến là xong:D (em nghĩ vậy thôi chứ chưa thử)

\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)\ge4xy\)    =>  \(xy\le\frac{1}{3}\)

\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)=2\left(x+y\right)^2-4xy\ge-4xy\) =>   \(xy\ge-\frac{1}{5}\)

=>  \(-\frac{1}{5}\le xy\le\frac{1}{3}\)

\(P=7.\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\right]+4x^2y^2\)

\(=7.\left(\frac{1+xy}{2}\right)^2-10x^2y^2=\frac{-33x^2y^2+14xy+7}{4}\)

đặt  \(t=xy\)

\(P=\frac{-33t^2+14t+7}{4}\)

........................

\(P_{min}=\frac{18}{25}\) tại  \(xy=-\frac{1}{5}\)

\(P_{max}=\frac{70}{33}\)  tại  \(xy=\frac{7}{33}\)

Lời giải:

$xy+\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1$

$\Leftrightarrow \sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}=1-xy$

$\Rightarrow (1+x^2)(1+y^2)=(1-xy)^2$ (bp 2 vế)

$\Leftrightarrow x^2+y^2=-2xy$

$\Leftrightarrow (x+y)^2=0\Leftrightarrow x=-y$.

Khi đó:

$M=(x+\sqrt{1+(-x)^2})(-x+\sqrt{1+x^2})=(\sqrt{1+x^2}+x)(\sqrt{1+x^2}-x)$

$=1+x^2-x^2=1$

x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)

P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)

>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)

x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8 

minP=8