a)     \(PQ = n.\cos a,PQ = m.\cos b\)

b)     \(MQ = n.\sin a,PN = m.\sin b \Rightarrow MN = n.\sin a + m.\sin b\)

\(\begin{array}{l}{S_{MPQ}} = \frac{1}{2}m.\cos b.n.\sin a = \frac{1}{2}m.n.\cos b.\sin a\\{S_{NPQ}} = \frac{1}{2}n.\cos a.m.\sin b = \frac{1}{2}m.n.\cos a.\sin b\\{S_{MNP}} = \frac{1}{2}m.n.\sin \left( {a + b} \right)\end{array}\)

c)     \({S_{MNP}} = {S_{MPQ}} + {S_{NPQ}} \Rightarrow \frac{1}{2}m.n.\cos b.\sin a + \frac{1}{2}m.n.\cos a.\sin b = \frac{1}{2}m.n.\sin \left( {a + b} \right)\)

\( \Rightarrow \sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\)

d)     \(\sin \left( {a - b} \right) = \sin \left[ {a + \left( { - b} \right)} \right] = \sin a.\cos \left( { - b} \right) + \cos a.\sin \left( { - b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b\)

Anh/chị tự kẻ hình nha :

tam giác MNP cân tại P (gt) => MP = NP (đn) và góc PNM = góc PMN (tc)

góc PQM = góc PQN = 90^o  do PQ | MN (gt)

=> tam giác MPQ = tam giác NPQ (ch - gn)

b, tam giác MPQ = tam giác NPQ (câu a)

=> MQ = QN (đn) mà Q nằm giữa M và N 

=> Q là trung điểm của MN

c, xét tam giác MIK và tam giác  MQK có : MK chung

góc QMK = góc KMI do MK là pg của góc M (gt)

góc KQM = góc KIM = 90 do ...

=>  tam giác MIK = tam giác  MQK (cgv - gnk)

=> KI = KQ (đn)

=> tam giác KIQ cân tại  K (đn)

Dễ thấy MR // PQ

\(\Rightarrow\widehat{RMP}+\widehat{MPQ}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{RMP}+50^0=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{RMP}=30^0\)

b, \(\widehat{HPQ}+\widehat{PHK}=130^o+50^o=180^o\)

\(\Rightarrow MN//HK//PQ\).

d, \(\left\{{}\begin{matrix}d\perp HK\\MN//PQ\end{matrix}\right.\Rightarrow d\perp MN\).

b, \(\widehat{QPH}+\widehat{PHK}=130^o+50^o=180^o\)

\(\Rightarrow HK//PQ\) (cặp góc trong cùng phía bù nhau).

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}MN//HK\\HK//PQ\end{matrix}\right.\Rightarrow MN//PQ\).