Lời giải:

$12n+8\vdots 4n+1$
$\Rightarrow 3(4n+1)+5\vdots 4n+1$
$\Rightarrow 5\vdots 4n+1$

Do $4n+1>0$ với mọi $n\in\mathbb{N}$ nên:

$\Rightarrow 4n+1\in\left\{1; 5\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{0; 1\right\}$ (đều thỏa mãn)

Lời giải:

$12n+8\vdots 4n+1$
$\Rightarrow 3(4n+1)+5\vdots 4n+1$
$\Rightarrow 5\vdots 4n+1$

Do $4n+1>0$ với mọi $n\in\mathbb{N}$ nên:

$\Rightarrow 4n+1\in\left\{1; 5\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{0; 1\right\}$ (đều thỏa mãn)

Ta có:

12n + 8 = 12n + 3 + 5 = 3(4n + 1) + 5

Để (12n + 8) ⋮ (4n + 1) thì 5 ⋮ (4n + 1)

⇒ 4n + 1 ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

⇒ 4n ∈ {-6; -2; 0; 4}

⇒ n ∈ {-3/2; -1/2; 0; 1}

Mà n ∈ ℕ

⇒ n = 0; n = 1

2n + 8 ⋮ 2n + 1

⇒ 2n + 1 + 7 ⋮ 2n + 1

⇒ 2n + 1 chia hết cho 2n + 1 và 7 chia hết cho 2n + 1 

⇒ 7 chia hết cho 2n + 1

⇒ \(2n+1\inƯ\left(7\right)=\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

⇒ \(2n\in\left\{0;-2;6;-8\right\}\)

⇒ \(n\in\left\{0;-1;3;-4\right\}\)

Vậy: ... 

n={0;3}

Theo bài ra ta có: 

 2n + 8 chia hết cho 2n + 1

=> ( 2n + 1 ) + 7 chia hết cho 2n  + 1

=> 7 chia hết cho 2n + 1

=> 2n + 1 thuộc { 1 ; 7 }

=> 2n thuộc { 0 ; 6 }

=> n thuộc { 0 ; 3 }

An và Bình cùng đếm số trái cây mình có, An nói: “Nếu cậu cho mình 4 trái thì 2 tụi mình sẽ có số trái cây bằng nhau”. Bình nói lại với An: “Còn nếu cậu cho mình 2 trái thì số trái cây của tớ sẽ gấp 4 lần cậu”. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu trái

Lời giải:
$12n-3\vdots 3n-2$

$\Rightarrow 4(3n-2)+5\vdots 3n-2$

$\Rightarrow 5\vdots 3n-2$

$\Rightarrow 3n-2\in\left\{1; -1;5;-5\right\}$

$\Rightarrow n\in\left\{1; \frac{1}{3}; \frac{7}{3}; -1\right\}$

Vì $n\in\mathbb{N}$ nên $n=1$

Ta có:

12n - 3 = 12n - 8 + 5 = 4(3n - 2) + 5

Để (12n - 3) ⋮ (3n - 2) thì 5 ⋮ (3n - 2)

⇒ 3n - 2 ∈ Ư(5) = {-5; -1; 1; 5}

⇒ 3n ∈ {-3; 1; 3; 7}

⇒ n ∈ {-1; 1/3; 1; 7/3}

Mà n ∈ ℕ

⇒ n = 1

Ta có:

15n - 3 = 15n - 10 + 7 = 5(3n - 2) + 7

Để (15n - 3) ⋮ (3n - 2) thì 7 ⋮ (3n - 2)

⇒ 3n - 2 ∈ Ư(7) = {-7; -1; 1; 7}

⇒ 3n ∈ {-5; 1; 3; 9}

⇒ n ∈ {-5/3; 1/3; 1; 3}

Mà n ∈ ℕ

⇒ n = 1; n = 3

\(\Leftrightarrow n^2+n+2n+2+3⋮n+1\)

\(\Leftrightarrow n+1\in\left\{1;3\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;2\right\}\)

$(n^2+3n+5)\vdots (n+1)$

$\to (n^2+n+2n+2+3)\vdots (n+1)$

$\to [n(n+1)+2(n+1)+3]\vdots (n+1)$

$\to n+1\in Ư(3)=\left\{-3;-1;1;3\right\}$

$\to n\in \left\{-4;-2;0;2\right\}$

Mà $n\in \mathbb{N}$

$\to n\in \left\{0;2\right\}$

0,2

Mệnh đề này đúng

Vì với n=0 thì 0 chia hết cho 0+1

Mệnh đề phủ định: \(\overline{Q}\forall n\in N;n⋮̸n+1\)