Cho \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0;\)\(\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0;\)\(\left(c-1\right)\left(a-1\right)\ge0.\)
CM: \(\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\)
Những câu hỏi liên quan
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b\ge0\\a+b=1\end{matrix}\right.\) tìm max,min \(P=\sqrt{a\left(b+1\right)}+\sqrt{b\left(a+1\right)}\)
Cho \(a,b,c,d>0\).CMR: \(\frac{\left(a-1\right)\left(c+1\right)}{1+bc+c}+\frac{\left(b-1\right)\left(d+1\right)}{1+cd+d}+\frac{\left(c-1\right)\left(a+1\right)}{1+da+a}+\frac{\left(d-1\right)\left(b+1\right)}{1+ab+b}\ge0\)
\(a,b\ge0\). Tìm min và max: \(P=\dfrac{8\left(a-b\right)\left(1-ab\right)}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2}\)
Cho \(a+b=2\sqrt{3}\) , \(a,b\ge0\)
Tìm GTLN của : \(\left(1+a^4\right)\left(1+b^4\right)\)
Đề bài sai/thiếu
Biểu thức này ko tồn tại max nếu không có thêm điều kiện của a;b
Đúng 0
Bình luận (1)
Cho \(a+b=1;a\ge0;b\ge0\)
CMR:\(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{a}\right)^2\ge\dfrac{25}{2}\)
Ta có BĐT : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}=4\)
Sử dụng BĐT Cauchy schwarz dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2}{1}+\dfrac{\left(b+\dfrac{1}{a}\right)^2}{1}\ge\dfrac{\left(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(1+4\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)
Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
dfrac{1}{left(1+a^2right)}+dfrac{1}{left(1+b^2right)}gedfrac{2}{left(1+abright)}
Leftrightarrowleft(1+a^2right)left(1+abright)+left(1+a^2right)left(1+abright)ge2left(1+a^2right)left(1+b^2right)
Leftrightarrow1+b^2+ab+ab^3+1+a^2+ab+a^3b-2left(1+a^2+b^2+a^2b^2right)ge0
Leftrightarrow ableft(a^2-2ab+b^2right)-left(a^2+2ab+b^2right)ge0
Leftrightarrowleft(ab-1right)left(a-bright)^2ge0
Điều này hiển nhiên đúng do ab ge 1, (a-b)2 ge 0
Dấu xảy ra khi và chỉ khi a b 1
Đọc tiếp
\(\dfrac{1}{\left(1+a^2\right)}+\dfrac{1}{\left(1+b^2\right)}\ge\dfrac{2}{\left(1+ab\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)+\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+b^2+ab+ab^3+1+a^2+ab+a^3b-2\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Điều này hiển nhiên đúng do ab \(\ge\) 1, (a-b)2 \(\ge\) 0
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
a)3sqrt{40sqrt{12}}+4sqrt{sqrt{75}}-5sqrt{5sqrt{48}}b)sqrt{8sqrt{3}}+3sqrt{20sqrt{3}}-2sqrt{45sqrt{3}}c)left(sqrt{x}-1right).left(x+sqrt{x}+1right)left(xge0;yge0right)d)left(sqrt{x}+1right)left(x+1-sqrt{x}right)left(xge0;yge0right)e)left(sqrt{x}+yright)left(x+y^2-ysqrt{2}right)left(xge0;yge0right)
Đọc tiếp
a)\(3\sqrt{40\sqrt{12}}+4\sqrt{\sqrt{75}}-5\)\(\sqrt{5\sqrt{48}}\)
b)\(\sqrt{8\sqrt{3}}+3\sqrt{20\sqrt{3}}-2\sqrt{45\sqrt{3}}\)
c)\(\left(\sqrt{x}-1\right).\left(x+\sqrt{x}+1\right)\left(x\ge0;y\ge0\right)\)
d)\(\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x+1-\sqrt{x}\right)\left(x\ge0;y\ge0\right)\)
e)\(\left(\sqrt{x}+y\right)\left(x+y^2-y\sqrt{2}\right)\left(x\ge0;y\ge0\right)\)
22222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh \(4a\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(a+b+1\right)+b^2\ge0\)
Chứng minh \(4a\left(a+b\right)\left(a+1\right)\left(a+b+1\right)+b^2\ge0\)