cho oz là tia phân giác của góc nhọn xoy. từ điểm m trên oz (m khác o) kẻ đường thẳng vuông góc với oy cắt oy tại k và cắt ox tại a. cũng từ m kẻ đường thẳng vuông góc với ox cắt ox tại h và cắt oy tại b . a, chứng minh tam giác ohm= tam giác okm b, chứng minh oa=ob
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ tia Ox vuông góc với AB tại O, nó cắt (O) tại M. Lấy điểm E thuộc đoạn thẳng OM (E không trùng với O và M). AE cắt (O) tại C, tia BC cắt Ox tại D
1) Chứng minh tứ giác OECB nội tiếp đường tròn
2) Chứng minh OA.OB = OD.OE
3) Kẻ tiếp tuyến với (O) tại C, nó cắt ED tại I. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng ED
Lời giải:
1.
Ta có: $\widehat{EOB}=\widehat{xOB}=90^0$
$\widehat{ECB}=\widehat{ACB}=90^0$ (góc nt chắn nửa đường tròn)
Tứ giác $OECB$ có tổng 2 góc đối $\widehat{ECB}+\widehat{EOB}=90^0+90^0=180^0$ nên $OECB$ là tứ giác nội tiếp.
2) Vì $OECB$ là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{OBC}=\widehat{AEO}$ hay $\widehat{DBO}=\widehat{AEO}$
Xét tam giác $DBO$ và $AEO$ có:
$\widehat{DBO}=\widehat{AEO}$ (cmt)
$\widehat{DOB}=\widehat{AOE}=90^0$
$\Rightarrow \triangle DBO\sim \triangle AEO$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{DO}{BO}=\frac{AO}{EO}\Rightarrow OA.OB=OE.OD$
3.
Ta có: $\widehat{ICE}=\widehat{ICA}=\widehat{CBA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)
$\widehat{CBA}=\widehat{CEI}$ (do $OECB$ là tgnt)
$\Rightarrow \widehat{ICE}=\widehat{CEI}\Rightarrow IE=IC(*)$
Mặt khác:
$\widehat{AOD}=\widehat{ACD}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $AD$ nên $AOCD$ là tứ giác nội tiếp. Suy ra $\widehat{CAB}=\widehat{CDI}$.
$\widehat{ICD}=90^0-\widehat{ICE}=90^0-\widehat{CBA}=\widehat{CAB}=\widehat{CDI}$
$\Rightarrow IC=ID(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow ID=IE$ hay $I$ là trung điểm $DE$
Cho tam giác DEF vuông tại D (DE< DF), tia phân giác của góc E cắt DF tại M. Trên tia đối của tia ME lấy điểm H sao cho ME = MH, từ điểm H vẽ đường thẳng vuông góc với DF tại N và cắt EF tại điểm K.
a) Chứng minh 
.
b) Chứng minh EK = HK.
c) Chứng minh rằng MN < MF.
Cho tam giác DEF. Tia phân giác của góc E cắt DF tại M. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt tia EM tại N và cắt tia EF tại P. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DNF cân
b) NF vuông góc với EF
c) Tam giác DEP cân
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Đường cao BE kéo dài cắt đường tròn tại K. Kẻ KD vuông góc với BC tại D. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB tại H. Tia DE cắt AB tại I.
a, Chứng minh tứ giác KEDC nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn này.
b, Chứng minh KB là tia phân giác của góc AKD
c, Chứng minh tứ giác CKIH là hình thanh
a) Xét tứ giác KEDC có
\(\widehat{KEC}=\widehat{KDC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{KEC}\) và \(\widehat{KDC}\) là hai góc cùng nhìn cạnh KC
Do đó: KEDC là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Cho tam giác đều DEF. Tia phân giác của góc E cắt cạnh DF tại M. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt tia EM tại N và cắt tia EF tại P. Chứng minh rằng
a/ Tam giác DNF cân
b/ NF vuông góc với EF
c/ Tam giác DEP cân
a: Xet ΔDEN và ΔFEN có
ED=EF
góc DEN=góc FEN
EN chung
=>ΔDEN=ΔFEN
=>ND=NF
=>ΔNDF cân tại N
b: ΔDEN=ΔNFE
=>góc NFE=90 độ
=>NF vuông góc EF
c: Xét ΔDEP có
DF là trung tuyến
DF=EP/2
=>ΔDEP vuông tại D
Cho đường tròn (O: R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm K thuộc cung nhỏ AC, kẻ KH vuông góc AB tại H. Tia AC cắt HK tại I, tia BC cắt HK tại E, nối AE cắt đường tròn (O; R) tại F.
1. Chứng minh tứ giác BHFE là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh: EF EA EC EB . . .
3. Tính theo R diện tích FEC khi H là trung điểm của OA.
4. Cho K di chuyển trên cung nhỏ AC. Chứng minh đường thẳng FH luôn đi qua một điểm cố định.
giúp mình ý 3 với ạ
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB. Từ điểm C nằm ngoài (O) kẻ cát tuyến CNM vuông góc với AB tại H (H nằm giữa O và B); AC cắt đường tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau ở E
a) CM: tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn
b) Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh: tam giác NKF cân
Cho tam giác DEF có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) với DE < DF và DH là đường cao. Kẻ phân giác góc D cắt (O) tại P. Qua F kẻ tiếp tuyến với (O) cắt EP kéo dài ở K.
a) Chứng minh DP là tia phân giác của góc ODH
b) PO cắt EF tại M và cắt (O) tại Q. Kẻ OG⊥QFOG⊥QF (G∈QF∈QF) Chứng minh tứ giác OMFG nội tiếp một đường tròn tiếp xúc với đường tròn (O) tại F.
c) Chứng minh rằng: EP = 2OG.
d) Chứng minh rằng: OG.KF = KP.MF.
